Статическая детерминированная модель управления запасами без дефицита

Статическая детерминированная модель управления запасами без дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т. е. совпадение функций r (t) и b (t). Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени равно N. Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т. е.. Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

Пополнение заказа происходит партиями одинакового объема, т. е. функция а (t) не является непрерывной: a (t) = 0 при всех t, кроме моментов поставки продукта, когда a (t)= n, где п — объем партии. Так как интенсивность расхода равна b, то вся партия будет использована за время.

Рис. 1.

Рис. 2.

Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то уровень запаса в начальный момент равен объему этой партии п, т. е. J (0) = n. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис 1. На временном интервале [0,T] уровень запаса уменьшается по прямой J (t)= п-bt от значения п до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент Т уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения п за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J (t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью Т (см. рис. 1).

Задача управления запасами состоит в определении такого объема партии п, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными. Обозначим суммарные затраты через С, затраты на создание запаса — через C₁, затраты на хранение запаса — через C₂ и найдем эти величины за весь промежуток времени Т. Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны c₁, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — с₂;. Так как за время необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема п, то число таких партий k равно:

Отсюда получаем:

Мгновенные затраты хранения запаса в момент времени t равны. Значит, за промежуток времени [0, Т] они составят:

Средний запас за промежуток [0, Т] равен пT/2, т. е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса. Учитывая периодичность функции J (t) (всего за промежуток времени будет k = «зубцов», аналогичных рассмотренному на отрезке [0,T]), и формулу (3), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени равны:

Нетрудно заметить, что затраты С₁ обратно пропорциональны, а затраты С₂ прямо пропорциональны объему партии п. Графики функций и, а также функции суммарных затрат.

В точке минимума функции С (n) ее производная:

.

Откуда:

Формула, называемая формулой Уилсона или формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что произведение есть величина постоянная, не зависящая от п. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, т. е. или:

Из (9) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается тогда, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты:

.

откуда, с учетом предыдущего, получим, или.

Число оптимальных партий за время с учетом (2), (7) и (1) равно:

Время расхода оптимальной партии равно:

Или.

Пример.

Потребность сборочного предприятия в деталях некоторого типа составляет 120 000 деталей в год, причем эти детали расходуются в процессе производства равномерно и непрерывно. Детали заказываются раз в год и поставляются партиями одинакового объема, указанного в заказе. Хранение детали на складе стоит 0,35 ден. ед. в сутки, а поставка партии -10 000 ден. ед. Задержка производства из-за отсутствия деталей недопустима. Определить наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, которые нужно указать в заказе (предполагается, что поставщик не допускает задержки поставок).

Решение.

По условию затраты на одну партию составляют C = 10 000 ден. ед., затраты хранения единицы запаса в сутки = 0,35 ден. ед. Общий промежуток времени = 1 год = 365 дней, а общий объем запаса за этот период N = 120 000 деталей. По формуле.

.

дней.

Итак, наиболее экономичный объем партии равен 4335 деталей, а интервал между поставками 13 дней. На практике, естественно, объем партии может отличаться от оптимального п₀, вычисленного. Так, в предыдущей задаче может оказаться удобным заказывать партии по 4500 или даже по 5000 деталей и возникает вопрос, как при этом изменятся суммарные затраты.

запас экономический расход.