Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Sm и их двумерных аналогов

Актуальность проблемы (работы). Теория приближения функций является классической проблемой математического анализа еще с XVIII—XIX вв., она решалась в различных направлениях в трудах Тейлора, Фурье, Вейерштрасса, П. J1. Чебышева, А. А. Маркова и др. В XX в. ей посвятили свои работы М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев, С. М. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, С. М. Никольский, Дж. Джексон, Дж. Л. Уолш и др.

Диссертационная работа относится к теории приближения, одной из задач которой является получение оценок вида.

Ln (JV), x)-f (x)\ О, где /(.v) — приближаемая функция, L, — приближающая последовательность линейных операторов. В 60−70 гг. П. П. Коровкиным, а впоследствии IO. Г. Абакумовым и их учениками были проведены исследования операторов L" класса S,".

Цель работы — развитие и модификация методов исследования аппроксимативных свойств приближающих последовательностей линейных операторов, которые ранее успешно применялись к случаю положительных операторов по схеме П. П. Коровкииа с применением метода интерполяции и распространения его на двумерный случай.

Научная новизна и практическая значимость работы. В работе впервые опытом применен метод интерполяции к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов, относящихся к классам Sj и 64. Получены также некоторые новые результаты, относящиеся к более общим классам S2m. Существенно новым является рассмотрение двумерных аналогов операторов класса т. к. подобные исследования ни кем ранее не проводились.

Все основные результаты диссертации являются новыми и относятся к следующим направлениям: 1) исследование аппроксимативных свойств операторов класса Si, 2) исследование аппроксимативных свойств двумерных аналогов операторов класса 6'2, 3) исследование аппроксимативных свойств двумерных операторов, ядра которых образованы положительным ядром и ядром, меняющим знак т раз, 4) применение общих оценок к тригонометрическим операторам В. А. Ваекакова.

Главный итог полученных результатов:

Операторы классов S2 и S* при естественных о них предположениях дают на классах и И7'// порядок приближения не хуже, чем положительные операторы. Имеющиеся примеры показывают, что на классах более гладких функций операторы этих классов могут давать порядок приближения лучший, чем положительные операторы.

Некоторые из результатов диссертации уже использованы в работах других авторов в дальнейшем изучении теории аппроксимативных свойств операторов.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы функционального анализа, теория аппроксимации, а также упомянутый ранее метод интерполяции, который базируется на единой схеме вывода оценок, кратко описываемой следующим образом:

— по исследуемой функции строится вспомогательная;

— выводятся оценки относительно этой функции и полиномов (или других конструкций), аппроксимативные свойства которых считаются известными;

— неравенства относительно функций преобразуются в неравенства относительно операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: I) на научных семинарах:

— кафедры математического анализа Забайкальского государственного педагогического университета под руководством проф. С. Е. Холодове ко го (г. Чита, 1999;2001 гг.);

— кафедры высшей математики Хабаровского государственного технического университета под руководством проф. А. Г. Зарубина (г. Хабаровск, 2001 г.);

— Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук под руководством чл.-корр. РАН, проф. 1−1. В. Кузнецова (г. Хабаровск, 2000;2002 гг.);

2) на ежегодных научных конференциях Читинского государственного технического университета (Чита, 1994;2000 гг.);

3) систематически на семинаре кафедры прикладной математики ЧитРГУ по руководством доп. I I. В. Розовой;

4) на международной конференции по теории приближений (Калуга, 1996 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [10, 39−52], из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 84 страницах компьютерного текста и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 52 наименования.

в предлагаемой диссертации проведено исследование аппроксиматив ных возможностей некоторых классов линейных операторов. В первой главе рассматривались операторы класса S"" удовлетворяющие определенным ус ловиям, но второй главе — их двумерные аналоги. Вывод оценок производился \о единой схеме, которую условно можно назвать методом интерполяции. Подобного рода схемы являются развитием схемы, использованной еще П. П. Коровкиным. В статье [46] две схемы такого типа описаны в терминах линейных гюрмированных пространств. Их конкретизация дает два метода получения оце1юк, которые условно можно назватьметодами «интерполяции» и «раз рывной мажоранты». В диссертации использовался только первый из этих методов. (Заметим, «метод разрывной мажоранты» использовался.

10. Г Абакумовым [3], Н. А. Забелиной [21]).Название «метод интерполяции» возникло в связи с тем, что вспомога тельная функция имеет вид: <7^ (*) = ./•(•)-1,4*), где.!,'(/) в одномерном случае интерполяционный полином Лагранжа для/(/).Перенести эту методику на двумернь! й случай удается ценой внесения огра ничений на вид операторов. К преимуществам «метода интерполяции» относится то, что в получае мых оценках не используется норма операторов. Однако применение его свя зано с техническими трудностями, которые возрастают с увеличением раз мерности и индекса /-/ класса S,". Метод «разрывной мажоранты» более уни версален, но использует нормы операторов и дает более грубые оцешси.