О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях

Настоящая работа посвящена нахождению условий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами, А = —divV (1) и ассоциированного с ним оператора Шрёдингера.

L = —divV-fс (2) на многообразиях специального вида.

Спектральный анализ операторов очень важен для математической физики. Более того, многие задачи этого раздела теории операторов обязаны своим возникновением квантовой механике, где, например, гамильтониан — это неограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Точечный спектр гамильтониана соответствует уровням энергии связанных состояний системы. Непрерывный спектр играет важную роль в теории рассеяния в системе.

В Rn задача о зависимости спектра эллиптического оператора от его коэффициентов была достаточно хорошо изучена многими авторами — многообразие имеющихся результатов вполне отражают известные монографии М. А. Наймарка [27] и И. М. Глазмана [9]. Среди этих результатов отметим здесь только лишь критерии дискретности спектра оператора Штурма — Лиувилля в R1, принадлежащие A.M. Молчанову [25], И. С. Кацу и М. Г. Крейну [16] — эти критерии мы используем при изучении спектров упомянутых операторов на многообразиях и их точные формулировки будут приведены ниже.

Что касается римановых многообразий, то первые исследования в этой области появились в 60-х годах XX века. В них изучались операторы на компактных многообразиях. Результатом исследований стала достаточно полная информация о структуре спектра оператора Лапласа — Бельтрами, что нашло выражение в известной монографии М. Берже, П. Годюшона и Е. Мазе [3]. В частности, хорошо известно, что спектр лапласиана на компактном римановом многообразии непременно дискретен, первое собственное число равно нулю и оно всегда имеет единичную кратность.

Первые исследования спектра эллиптических операторов на некомпактных многообразиях относятся к 70-м годам. Перечислим здесь некоторые результаты.

• Х.П. МакКин [23], С. Т. Яу [49] получили нижнюю оценку инфи-мума спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях отрицательной гауссовой кривизны. В случае кривизны, ограниченной снизу некоторым неположительным числом, верхнюю оценку точной нижней грани спектра получил С. Я. Ченг [45].

• М. Пински [28] указал двусторонние оценки инфимума спектра оператора Лапласа — Бельтрами и инфимума непрерывной части спектра в терминах метрики для двумерных поверхностей неположительной гауссовой кривизны. Для произвольных многообразий отрицательной кривизны его результаты обобщили X. Доннелли и П. Ли [12].

• В. Мюллер [26] исследовал структуру спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с концами. Заметим, что многообразия, рассмотренные им, являются частным случаем квазимодельных многообразий, рассматриваемых в нашей работе.

• А. Бейдер [2] доказал критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на искривлённых римановых произведениях. Его результаты мы опишем подробнее немного ниже.

• Р. Брукс [5], [6] получил двусторонние оценки точной нижней грани Aqss непрерывной части спектра. Из этих оценок легко можно получить достаточное условие дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии. Ниже мы приведём результаты Р. Брукса и исследуем их связь полученным нами критерием.

• В. А. Кондратьев, М. А. Шубин [17] нашли условия дискретности спектра оператора Шрёдингера на многообразиях ограниченной геометрии.

• Ж. Шен [48] получил критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера в терминах поведения потенциала на бесконечности. При этом, правда, накладываются достаточно жёсткие условия на геометрию многообразия (которые, впрочем, выполнены на всяком многообразии ограниченной снизу кривизны Риччи) и сам потенциал. Ниже мы опишем их подробнее и обсудим их в сравнении с нашим результатом.

По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и структурой спектра эллиптических операторов на этих многообразиях. Следующие результаты диссертации являются новыми:

1. Доказан критерий дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на весовых искривленных произведениях. Результат является обобщением аналогичного критерия А. Бей-дера [2] для оператора Лапласа — Бельтрами.

2. На простых искривленных произведениях порядка к получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами в терминах объёма и ёмкости некоторых областей на многообразии. Показано обобщение этого критерия для квазимодельных многообразий.

3. В случае, когда потенциал оператора Шрёдингера и метрика многообразия удовлятворяют некоторым условиям на их глобальное поведение, получен критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера на простых искривленных произведениях и квазимодельных многообразиях в терминах поведения потенциала и метрики многообразия на бесконечности.

4. Исследован вопрос сохранения дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами при изменении метрики многообразия специальным образом.

Методы, использованные для получения представляемых результатов являются стандартными методами теории функций, теории уравнений в частных производных, теории операторов, а также спектрального анализа операторов.

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001), 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2002), конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А. Д. Александрова (Новосибирск, 2002), Казанской летней школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2001;2003гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2001;2004гг.). Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. А. Г. Лосев и д.ф.-м.н. В.М. Миклюков).

Исследовательская работа, представленная на научную конференцию профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов ВолГУ (2001г.), отмечена дипломом I степениработа «Критерии дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях специального вида» удостоена поощрительной премии по направлению «Физика и математика» на VI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2001г.) — работа «О спектре оператора Лапласа — Бельтрами» награждена дипломом за лучший доклад на «Лобачевских чтениях — 2001" — исследование, представленное на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2002г.), отмечена дипломом II степениработа «Дискретность спектра оператора Шрёдингера на многообразиях специального вида» на VII Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2002г.) удостоена диплома I степениработа «О дискретности спектра оператора Шрёдингера», представленная на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2003г.), по направлению «Математика» награждена дипломом I степени. Некоторые из представляемых результатов были получены автором в ходе работ по гранту РФФИ проект № 03−01−304.

Диссертация содержит 90 страниц и состоит из введения и двух глав. Главы разделяются на параграфы с подчиненной нумерацией. В первой главе вводятся основные определения и формулируются известные ранее результаты, используемые в работе. Представляются также обобщения некоторых из известных фактов, также полезные в дальнейшем. Кроме того, в этой же главе доказываются критерии дис.

1. Агмон С. (Agmon S.) Lectures on elliptic boundary value problems — Van Nostrand, 1965. — 242p.

2. Бейдер A. (Baider A.) Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J.Diff.Geom. 1979 — V. 14 — p. 41−57.

3. Берже M., Годюшон П., Мазе E. (Berger M., Gauduchon P., Mazet E.) Le spectre d’une variete Riemannienne Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971. — 251p. — (Lecture Notes in Math.- V. 194).

4. Богачев В. И., Рёкнер М. Об LP-единственности симметричных диффузионных оператров на римановых многообразиях // Мат. сб. 2003 — т. 194, № 7 — с. 15−24.

5. Брукс P. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian 11 Math. Z. 1981 — V. 178 — p. 501−508.

6. Брукс P. (Brooks R.) On the spectrum of non-compact manifolds with finite volume // Math. Z. 1984 — V. 187 — p. 425−432.

7. Гафни M. (Gaffney M.) The harmonic operator for exterior differential forms // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1951 — V. 37 -p. 48−50.

8. Гилбарг Д., Трудингер M. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: пер. с англ. М.: Наука, 1989. — 464с.

9. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов -* М.: Физматгиз, 1963. 339с.

10. Григорьян А. А. О существовании положительных решений уравнения Лапласа на римановых мноообразиях // Мат. сб. -1985 Т. 128, № 3 — с. 354−363.

11. Григорьян A.A. (Grigor'yan A.A.) Analytic and geometricbackground of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bulletin of Amer.Math.Soc. -1999 V. 36 — p. 135−249.

12. Доннелли X., Ли П. (Donnelly H., Li P.) Pure point spectrum and negative curvature for non-compact manifolds / f Duke Math.J. -1979 V. 46 — p. 497−503.

13. Донскер М. Д., Варадхан C.P.C. (Donsker M.D., Varadhan S.R.S.) On variational formula for principal eigenvalue for operators with maximum principle // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1975 — V. 72 -p. 780−783.

14. Дэвайс E. B.(Davies E. B.) L1 properties of second order elliptic щ operators // Bull. London Math. Soc. 1985. — V. 17, N 5.p. 417−436.

15. Иосида К. Функциональный анализ М.: Мир, 1967. — 430 с.

16. Кац И. С., Крейн М. Г. Критерий дискретности спектра сингулярной струны // Изв.вузов. Математика 1958 — № 2(3) -с. 136−153.

17. Кондратьев В. А., Шубин М. А. (Kondratev V., Subin М.) Discreteness of spectrum for the Schrodinger operators onmanifolds of bounded geometry Operator theory: Advances and Applications — 1999 — V. 110 — p. 185−226.

18. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн. 1996 — Т. 37, № 2. -с. 324−337.

19. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля иДирака М.: Наука, 1988. — 432с.

20. Лосев А. Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998 -т. 39, № 1. — с. 87−93.

21. Лосев А. Г. Стационарное уравнение Шрёдингера на квазимо-т дельных римановых многообразиях // Труды каф. мат. анализаи теории функций Волгоградского гос. ун-та. Волгоград Изд-во ВолГУ, 2002. — с. 94−124.

22. Лосев А. Г., Мазепа Е. А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях // Алгебра и анализ 2001 — т. 13, вып. 1 — с. 84−110.

23. МакКин Х.П. (McKean Н.Р.) An upper bound for the spectrum ofД on a manifold of negative curvature // J.Diff.Geom. 1970 -V. 4 — p. 359−366.

24. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными: пер. с япон. М.: Мир, 1977. — 504с.

25. Молчанов A.M. Об условиях дискретности спектра самосопряжённых дифференциальных уравнений второго порядка // Труды Моск.Матем.Об-ва 1953 — № 2 — с. 169−200.

26. Мюллер В. (Muller W.) Spectral theory for Riemannian manifolds with cusps and a related trace formula // Math.Nachr. 1983V. Ill p. 197−288.

27. Позняк Э. Г., Шикин E.B. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. — 384с.

28. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической фит зики: Т. 1. Функциональный анализ, пер. с англ.: в 4 т.М.: Мир, 1977. 360с.

29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость, пер. с англ.: в 4 т. М.: Мир, 1978. — 400с.

30. Садовничий В. А. Теория операторов М.: Дрофа, 2001. — 384с.

31. Саймон Б. (Simon В.) Essential self-adjointness of Schrddingeroperators with singular potentials // Arch. Rational Mech.Anal. -1973 V. 52 — p. 44−48.

32. Салоф-Косте Jl. (Saloff-Coste L.) Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1992. No 36, p. 417−450.

33. Светлов А. В. О спектре оператора Лапласа — Бельтрами // Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 12 (Лобачевские чтения 2001) // Материалы международной молодежной научной школы-конференции — Казань, 2001. — с. 57−58.

34. Светлов А. В. Дискретность спектра оператора Лапласа —Бельтрами на весовых многообразиях // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов, 2002. — с. 188−189.

35. Светлов А. В. Об условиях дискретности спектра оператора Шрёдингера // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А. Д. Александрова: Тез. докл. Новосибирск, 2002. — с. 65−66.

36. Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. мат. ж. 2002 — Т. 43, № 6 — С. 1362−1371.

37. Светлов А. В. Спектр оператора Шрёдингера на скрещенныхФ произведениях // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика 2002 — вып. 7 — с. 12−19.

38. Светлов А. В. О дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 19 (Теорияфункций, её приложения и смежные вопросы) // Материалы Казанской международной летней школы-конференции Казань, 2003. с. 192−193.

39. Светлов А. В. Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск. -Изд-во инст. математики 2003 — с. 376−383.

40. Светлов А. В. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики // Геометрический анализ и его приложения. Тез. докл. междунар. шк.-конф. Волгоград, 2004. -с. 162−163.

41. Шехтер M. (Schechter M.) Spectra of partial differential operators Amsterdam: North-Holland, 1971. — 295p.

42. Шен Ж. (Shen Z.) The spectrum of Schrodinger operatorswith positive potentials in Riemannian manifolds // Proc. of Amer.Math.Soc. 2003 — V. 131, N. 11 — p. 3447−3456.

43. Яу С. Т. (Yau S.T.) Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a complete Riemannian manifold // Ann.Sci.Ecole Norm.Sup. -1975 V. (4) 8 — p. 487−507.