Интеграл типа Дарбу и новые случаи центра кубической дифференциальной системы

Актуальность темы

Для двумерной системы дифференциальных уравнений гДе Р^, Q-. — однородные полиномы степени L ^) относительно ос и ^ с действительными коэффициентами, проблема различения центра и фокуса решена лишь в следующих частных случаях: a) б) Р3=0jSO, (2).

И.С.Куклесом [1−3 ] изучалась также система (I) приР^у, Q-i = ЗС > Р е Р н О, однако впоследствии Л. А. Черкасом flj и А. П. Садовским [13 для такой системы были обнаружены новые случаи центра.

При этом, во многих случаях наличия центра обнаружено существование алгебраических интегралов вида о) г где г^ - полиномы от ОС и ^ с вообще говоря комплексными коэффициентами, — комплексные числа. В этом случае, очевидно, система (I) имеет действительные или комплексные алгебраические интегральные кривые Рк — О 4С = VI).

Интегралы вида (3) рассматривались в работах Г. Дарбу [I], А. Дюлака [I], М. Н. Лагутинского [I], М. В. Долова [З-б], К. С. Сибирского [l-З], М.Г.Худай-Веренова [2*], В.В.Косарева[.21 и других математиков. В частности, в случае (2а) был обнаружен интеграл вида F^ Fz^*= с * в котором F^ и F^ полиномы соответственно шестой и четвертой степени.

Вопросу об отыскании алгебраических (вообще говоря комплексных) интегральных кривых системы (I) или ее частных случаев (2) были посвящены работы А. И. Яблонского [1−3], Т.А.Друж-ковой [1−53, Л. С. Лавринович [1−3″ 1, П. С. Белевца [1−2], П.С.Бе-левца и Р. Т. Валеевой [.1−2], П. С. Белевца и И. Г. Кожуха [l-2J, П. С. Белевца и А. И. Яблонского [I], Р. Т. Валеевой [I], И.Г.Кожу-ха [1−2], Р. М. Евдокименко [.1−3], В. Н. Горбузова [I], А.И.Илама-нова [1−4], Л. Г. Манторовой [I], В. В. Столярова [I], В.Ф.Филип-цова[1−2], Цинь Юань Сюня [I], Хуан Ци-Юй, Фан Чу-бао и Цянь Сянь-чэна [I" ] и других. Толчком ко многим из них явилась работа Н. П. Еругина [I], в которой автор построил все классы систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида. Отметим, что кроме отыскания частных алгебраических интегралов, в работах большинства из вышеуказанных авторов рассматривались и вопросы качественного исследования систем вида (I) или ее частных случаев (2), такие, как существование предельных циклов в виде алгебраических кривых, расположение и характер особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности, изучение поведения интегральных кривых «в целом» .

М.В.Доловым ?2] для системы (I) обнаружены случаи совместного существования центра и предельных циклов. Д. С. Ушхо [i] проведено качественное исследование одной системы вида (I) с тремя центрами. В. А. Лункевичем и К. С. Сибирским [1−2] в случаях наличия центра найдены аффинно-инвариантные интегралы для частных случаев (2) системы (I).

Обнаружение алгебраических интегралов вида (3) у системы (I) дает возможность найти новые достаточные условия наличия центра в начале координат для этой системы. Системы вида (I) часто возникают в автоколебательных, биохимических и других процессах. Качественное исследование таких систем имеет большое практическое применение в радиотехнике, физике, химии и других разделах науки.

Все это определяет актуальность и важность рассматриваемых в диссертационной работе вопросов, связанных с исследова/ нием систем дифференциальных уравнений вида (I), обладающих алгебраическим интегралом вида (3).

Методика исследований. В диссертации использованы методы и приемы качественного исследования динамических систем, а также методы и приемы теории преобразований форм и алгебраических кривых на плоскости.

Цель работы — нахождение условий, при выполнении которых, выражение (3) с Yl= Z. и полиномами и соответственно шестой и четвертой степени от зс и ^ с действительными коэффициентами, J^jJ^*. — действительные числа (интеграл типа 4−6) является интегралом системы дифференциальных уравнений вида (I) с мнимыми корнями характеристического уравнения- - полное исследование особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности системы (I) с интегралом типа 4−6- - полное качественное исследование такой системы при условии равенства нулю дискриминанта квадратичной формы, участвующей в выражении Fa. .

Научная новизна и практическая ценность работы" В диссертации найдены условия, при выполнении которых система (I) с мнимыми корнями характеристического уравнения обладает интегралом типа 4−6 и тем самым установлены новые случаи наличия в начале координат центра такой системы. Определено число и исследован характер особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности вышеуказанной системы. В случае, когда дискриминант квадратичной формы, входящей в интеграл, равен нулю, проведено качественное исследование «в целом» (с доказательством хода сепаратрис).

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в научно-исследовательской работе по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте математики с ВЦ АН МССР, в Кишиневском государственном университете имени В. И. Ленина, в Белорусском государственном университете имени В. И. Ленина, в Горьковском государственном университете имени Н. И. Лобачевского.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построение классов систем дифференциальных уравнений вида (I), обладающих интегралом типа 4−6.

2. Нахождение новых случаев наличия в начале координат особой точки типа ««центр» систем вида (I).

3. Нахождение числа и исследование характера особых точек в конечной части плоскости и на бесконечности системы (I) с интегралом типа 4−6 при условии наличия у нее мнимых корней характеристического уравнения.

4. Полное качественное исследование системы (I), порожденной интегралом типа 4−6 с нулевым дискриминантом квадратичной формы.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Кишиневском семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений, на конференции молодых ученых АН МССР и на семинаре сектора дифференциальных уравнений Института математики с ВЦ АН МССР.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [l-4*] и в работе автора и К. С. Сибирского [д1* Соавтору принадлежит постановка задачи и схема проведения доказательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы.