Некоторые экстремальные задачи для дискретных периодических функций

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена решению дискретных экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта для тригонометрических полиномов на циклической группе Zg, вычислению дискретных констант Джексона в пространстве ^(Zq).

Актуальность темы

Задача Фейера о наибольшем значении неотрицательного тригонометрического полинома с фиксированным средним значением, экстремальный полином в задаче Фейера нашли многочисленные применения в различных областях математики. В аналитической теории чисел, теории функций используется обобщение задачи Фейера на случай полиномов с заданным спектром, известное как задача Монтгомери. Ею занимались X. Монтгомери, Д. В. Горбачев, А. С. Белов.

Задача Турана — это задача о наибольшем среднем значении положительно определенной функции с фиксированным значением в нуле и заданным носителем. Она находит применение в теории >> чисел, цифровой обработке сигналов. Ею занимались С. Б. Стечкин,.

Н.Н. Андреев, А. Ю. Попов, В. В. Арестов, Е. Е. Бердышева, В. И. Иванов, Д. В. Горбачев, R.P. Boas, М. Кас, М. Kolountzakis, S. Revesz, A. Garsia, Е. Rodemich, Н. Rumsey. Задача Турана для периодических положительно определенных функций допускает редукцию к дискретным задачам Фейера и Турана.

Задача Дельсарта — это задача о наибольшем среднем значении положительно определенной функции с фиксированным значением в нуле и неположительной вне заданного множества. Она используется в задачах об оценке мощности кодов, дизайнов, контактных чисел, плотности упаковки однородных пространств. На этом пути важные результаты получили Ф. Дельсарт, Д. Геталс, Дж. Зейдель, К. Дан-кл, А. Одлыжко, М. Слоэн, В. М. Сидельников, В. И. Левенштейн, Г. А. Кабатянский, Г. Фазекаш, В. А. Юдин, Н. Н. Андреев, В.В. Аре-^ стов, А. Г. Бабенко, О. Р. Мусин, Д. В. Горбачев, Т. Hales, Н. Cohn,.

N. Elkies, A. Kumar и др. Задачи Дельсарта для ассоциативных симметричных схем отношений являются дискретными экстремальными задачами.

В теории приближений важной задачей является задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности. В пространствах ½ ею занимались Н. И. Черных, В. А. Юдин, В. В. Арестов, А. Г. Бабенко, В. И. Иванов, В. Ю. Попов, Д. В. Горбачев, В.Т. Ше-валдин, А. А. Лигун, А. В. Московский, О. И. Смирнов, С. Н. Васильев, А. И. Козко, А. В. Рождественский, Е. Е. Бердышева, А. А. Тюрюканов. Точные константы или константы Джексона являются функциями размерности приближающего подпространства и аргумента в модуле непрерывности. В пространстве L2 на торе Т константа Джексона вычислена только в одном случае Н. И. Черныхом. Один из подходов к вычислению констант Джексона в пространстве состоит в вычислении дискретных констант Джексона в пространстве I2 (Zq) и последующем предельном переходе при q —" 00.

Цель работы. Основной целью диссертации является решение дискретных экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта, задачи о дискретных константах Джексона в пространстве I2 на конечной циклической группе и прямом произведении циклических групп.

Методика исследований. Применяются методы теории функций, теории приближений, теории чисел, дискретной математики.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Решены дискретные экстремальные задачи Фейера, Турана, Дельсарта для полиномов на циклической группе Ъг Исследованы экстремальные функции в этих задачах.

В ряде случаев вычислены дискретные константы Джексона в пространстве /2(Zg).

Для двух ассоциативных симметрических схем отношений на прямом произведении циклических групп вычислены максимальные мощности кодов. С их помощью получены двусторонние оценки в многомерных дискретных экстремальных задачах Фейера, Турана, Дельсарта, в задаче о многомерных дискретных константах Джексона.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные методы могут быть использованы при решении экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта, задачи о константах Джексона на других ассоциативных симметричных схемах отношений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2002г., 2003 г., 2004 г.), Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» в г. Москве (2005г.), XIV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» в г.

Пензе (2005г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеже (2005 г), III Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» в г. Ростове-на-Дону (2005г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [15, 16, 25, 52], три из которых написаны в соавторстве. Одна статья в соавторстве с В. И. Ивановым, а две — в соавторстве с В. И. Ивановым и Д. В. Горбачевым.

В работах [15, 52] автору принадлежат результаты по дискретным экстремальным задачам. Леммы 3, 4, 5 в [15, 52] получены совместно с В. И. Ивановым.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [17, 18, 19, 26, 27, 28, 29].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Нумерация утверждений идет по главам, а формул — по параграфам. В нумерации формулы сначала указывается номер параграфа, а затем — номер формулы внутри параграфа. При ссылке на формулу из другой главы добавляется еще номер главы. Общий объем диссертации — 118 страниц. Библиография содержит 57 наименований.

1. Андреев, Н. Н. Экстремальные задачи для периодических функций с малым носителем / Н. Н. Андреев // Вестник МГУ. Сер. Математика. Механика. 1997. № 1. С.29−32.

2. Арестов, В.В. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел / В. В. Арестов, А. Е Бабенко // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 44−73.

3. Бабенко, А. Е О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 / А. Е Бабенко // Матем. заметки. 1986. Т.39, № 5. С.651−664.

4. Бабенко, А. Е Неравенство Джексона для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке /А.Е Бабенко. // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 3. С.460−472.

5. Банаи, Э. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений / Э. Банаи, Т. Ито М.: Мир, 1987.

6. Белов, А. С. Об оценке снизу равномерной нормы частных сумм неотрицательного тригонометрического полинома / А. С. Белов. // Вестник Ивановского государственного университета. Серия «Биология, Химия, Физика, Математика». 2005. Вып.З. С. 7383.

7. Бохнер, С. Лекции об интегралах Фурье / С. Блхнер М.: Физмат-гиз, 1962.

8. Виленкин, Н. Я. Специальные функции и теория представления групп / Н. Я. Виленкин М.: Наука, 1991.

9. Горбачев, Д. В. Неравенство Джексона в пространстве lv{Zq) / Д. В. Горбачев // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып. 3. С. 44−50.

10. Горбачев, Д. В. Экстремальные задачи для периодических функций с носителем в шаре / Д. В. Горбачев // Матем. заметки. 2001. Т.69, № 3. С. 346−352.

11. Горбачев, Д. В. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения /Д.В. Горбачев, А. С. Маношина // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688−700.

12. Дельсарт, Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования / Ф. Дельсарт М.: Мир, 1976.

13. Иванов, В.И. О теореме Джексона в Ь2 для систем Прай-т са / В. И. Иванов // Матем. заметки. 1993. Т.53, № 3. С.37−50.

14. Иванов, В. И. Экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье / В. И. Иванов, Д. В. Горбачев, Ю. Д. Рудомазина // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т.10. Вып. 1. С. 76 104.

15. Иванов, В.И. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем / В. И. Иванов, Ю. Д. Рудомазина // Матем. заметки. 2005. Т.77, № 6. С. 941−945.

16. Иванов, В.И. О теореме Джексона в пространстве 12{1д) / В. И. Иванов, О. И. Смирнов // Матем. заметки. 1996. Т.60, № 3. С. 390−405.

17. Иванов, В. И. Константы Джексона в пространстве Z2(ZJ) / В. И. Иванов, О. И. Смирнов // Труды МИРАН. 1997. Т.219. С.183−210.

18. Иванов, В. И. Константы Джексона в пространствах 1р на конечных множествах / В. И. Иванов, А. А. Тюрюканов // Известия Тул-ГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т.6. Вып. 1. С. 106−136.

19. Левенштейн, В. И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения / В. И. Левенштейн // Пробл. кибернетики. 1983. Вып. 40. С. 43−110.

20. Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа / Г. Полиа, Г. Сеге Т. 2. М.: Наука, 1978.

21. Рудомазина, Ю. Д. Коды на конечной абелевой группе G и константы Джексона в пространстве l2(G) / Ю. Д. Рудомазина // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2002. Т.8. Вып. 1. С. 119−129.

22. Рудомазина, Ю. Д. Константы Джексона и коды на конечных абе-левых группах / Ю. Д. Рудомазина // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2002. С.56−58.

23. Рудомазина, Ю. Д. Коды на конечной абелевой группе и константы Джексона в пространстве l2(G) / Ю. Д. Рудомазина // Тезисы докладов Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2003. С.42−46.

24. Рудомазина, Ю. Д. Константы Джексона в пространстве l2(Zq) / Ю. Д. Рудомазина // Тезисы докладов XIV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Пенза: ПГУ, 2005.С.131.

25. Рудомазина, Ю. Д. Константы Джексона в пространстве l2{bq) / Ю. Д. Рудомазина // Тезисы докладов III Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону: РГУ, 2005. С. 32.

26. Сидельников, В. М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценке мощности кода / В. М. Сидельников // Пробл. передачи информации. 1980. Т. 16, № 3. С. 17−30.

27. Смирнов, О. И. Теорема Джексона в L2 для систем Крестенсона-Леви / О. И. Смирнов // Матем. заметки. 1993. Т.53, № 4. С.111−130.

28. Смирнов, О. И. Константы Джексона в пространстве hi^q) О. И. Смирнов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1996. Т.2. Вып 1. С. 191−219.

29. Смирнов, О. И. Точные константы Джексона в пространстве l2(h2) О-ИСмирнов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. З. Вып. 1. С. 71−79.

30. Стечкин, С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами / С. Б. Стечкин // Acta Math. Acad. Scient. Hungar. 1972. Т. 23 (3−4). P. 289−291.

31. Стечкин, С. Б. Избранные труды: Математика / С. Б. Стечкин М.: Наука, 1998.

32. Турецкий, А. Х. Теория интерполирования в задачах / А. Х. Турецкий Минск: Вышэйшая школа, 1968.

33. Тюркжанов, А. А. Константы Джексона в пространстве l2{Zq) и коды на группе Z™ / А. А. Тюркжанов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т.7. Вып. 1. С. 154 161.

34. Хьюитт, Э. Абстрактный гармоноческий анализ / Э. Хьюит, К. А. Росс. Т. 1. -М.: Мир, 1975.

35. Чандрасекхаран, К.

Введение

в аналитическую теорию чисел / К. Чандрасекхаран М.: Мир, 1974.

36. Черных, Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 / Н. И. Черных. // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71−74.

37. Эдварде, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдварде. М.: Мир, 1985.

38. Эдварде, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде М.: Мир, 1969.

39. Эндрюс, Г. Теория разбиений. / Г. Эндрюс. М.:Наука, 1982.

40. Юдин, В. А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 / В. А. Юдин // Матем. заметки. 1981. Т.29, № 2. С. 309−315.

41. Юдин, В. А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов / В. А. Юдин // Труды МИРАН. 1997. Т.219. С.453−463.

42. Юдин, В. А. Нижние оценки для сферических дизайнов / В. А. Юдин // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т.61, № 3C.213−223.

43. Arestov, V.V. Turan’s problem for positive definite functions with supports in a hexagon / V.V. Arestov, E.E. Berdysheva // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2001. Iss. 1. P. S.20-S.29.

44. Arestov, V.V. The Turan problem for a class of poly-topes / V.V. Arestov, E.E. Berdysheva // East J. Approx. 2002. V. 8, № 3. P.381−388.

45. Boas, R.P., Kac M. Inequalities for Fourier transform of positive function / R.P. Boas, M. Kac // Duke Math. J. 1945. V.12. P. 189−206.

46. Delsarte, Ph. Bounds for unterstricted codes by linear programming / Ph. Delsart // Phihips Res. Rep. 1972. V.2. P.272−289.

47. Fejer, L. Uber trigonometrische Polynome / L. Fejer // J. Reine Angew. Math. 1916. V. 146. P. 53−82.

48. Ivanov, V.I. Some extremal problems for periodic function with conditions on theire values and Fouries coefficients / V.I. Ivanov, D.V. Gorbachev, Yu. D Rudomazina // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P. S.139-S.159.

49. Kolountzakis, M. On a problem of Turan about positive definite functions / M. Kolountzakis, S.G. Revesz // Proc. Amer.Math.Soc. 2003. V. 131. P. 3423−3430.

50. Kolountzakis, M. Turan’s extremal problem for positive definite functions on groups / M. Kolountzakis, S.G. Revesz Preprint. Inst, of Math. Hungar. Acad. Sci. 2003. № 5.

51. Levenstein, V.I. Universal Bonnds for codes and designs. In Handbook of Coding Theory / V.I. Levenstein Amsterdam: Elsevier, 1998.

52. Milovanovic, G.V. Rassias Th.M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros / G.V. Milovanovic, D.C. Mitri-novic Singapore-NewJersey-London-Hong Kong: World Scientific Publ. Co., 1994.

53. Montgomery, H.L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis /H.L. Montgomery Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994.