Квадратичные элементы групп Фробениуса

Теория абстрактных групп, т. е. групп, не наделенных изначально никакой дополнительной (геометрической, топологической, физической) структурой, зародившаяся на рубеже 19-го и 20-го веков, первое время развивалась как теория конечных групп. Усилиями нескольких математиков, среди которых несомненно нужно выделить В. Бернсайда и Г. Фробениуса, были получены основополагающие результаты теории конечных групп. Одной из самых знаменитых теорем, полученных в это время, является теорема Фробениуса [79] о группах, получивших впоследствии его имя. Вклад Бернсайда в развитие теории групп составляет не только его выдающиеся результаты, положившие начало локальному анализу конечных групп, и его замечательная книга [75], в которой подведен итог первоначального развития теории конечных групп, но и его знаменитые проблемы, во многом определившие развитие теории периодических групп. В одной из них речь шла о гипотезе, согласно которой порядок любой конечной простой неабелевой группы четен или, другими словами, любая конечная группа нечетного порядка разрешима, в другой задавался вопрос о локальной конечности периодической группы (3, порядки элементов которой ограничены некоторым числом. Для групп, период п которых не превосходит 3, положительный ответ был известен самому Бернсайду. В случае п = 2 группа С? абелева. При п = 3 в 1928 году Б.Л.Ван-дер-Варден и Ф. Леви [96] показали, что (7 трехступенно нильпотентна. В 1942 году появилась знаменитая работа И. Санова [51], в которой доказывалась локальная конечность групп О в случае п = 4.

Глубокая работа Ф. Холла и Г. Хигмана [87] стимулировала появление доказательства локальной конечности групп периода б [84], но наибольшее влияние она оказала на решение другой проблемы Бернсайда: идеи этой работы наряду с глубокими теоретико-характерными методами, связанными с конечными группами, близкими к группам Фробениу-са, привели У. Фейта и Дж. Томпсона [77] к доказательству разрешимости конечных групп нечетного порядка. Работа Томпсона и Фейта и последующие работы Томпсона о группах с разрешимыми локальными подгруппами дали старт бурному развитию теории конечных групп, которое привело к классификации конечных простых групп (см. [70], [83]).

Между тем, надежда на положительность решения проблемы Берн-сайда для любого конечного периода не оправдалась: в 1968 году появилась сенсационная работа П. С. Новикова и С. И. Адяна [37] с доказательством бесконечности свободной бернсайдовой группы В (тг, г) периода п с г порождающими при г > 2 и достаточно большом п. Эта работа предопределила появление неожиданных примеров групп С. И. Адяна, А. Ю. Ольшанского, Р. И. Григорчука и их учеников (см. [1]-[3], [10], [11],[36]-[42]), показавших бесконечность глубины пропасти между локально конечными группами и периодическими группами.

Все эти исследования ясно показали, что прогресс в «положительном» направлении изучения периодических групп возможен в первую очередь при условии существования в этих группах элементов небольших простых порядков, в частности, порядков 2 и 3 (отметим, что вопрос о локальной конечности групп периода 5 до сих пор открыт). Надежды на такой прогресс подкреплялись и мощными методами в исследовании конечных неразрешимых групп, связанными, как правило, с существованием в конечных простых группах подгрупп, четного порядка, близких к группам Фробениуса. Оказалось, однако, что для классификации конечных простых групп, одних этих методов недостаточно. Потребовалось интенсивное привлечение других простых чисел, в первую очередь числа 3.

Из многочисленной литературы на эту тему читателю можно порекомендовать, как важнейшие, работы Г. Хигмана [89], Глаубермана [81], главу 3 четвертого тома итоговой серии монографий Горенстейна, Лай-онса, Соломона [83] о классификации конечных простых групп, а также циклы работ Н. Д. Подуфалова [43]-[49] и А. А. Махнёва [23]-[35].

Особо следует отметить исследования Фишера [78], его ученика Штель-махера [102], а также Ашбахера и М. Холла [71], рассмотревших некоторые тонкие вопросы ситуации, связанные с конечными группами, порожденными элементами порядка 3, появляющиеся при классификации конечных простых групп и требующие индивидуального подхода.

Особенность числа 3 при исследованиях конечных групп проявляется с одной стороны в том, что изучение р-локальных подгрупп нечетного порядка, как правило, проходит единообразно для р > 5 и сильно усложняется при р = 3 (достаточно вспомнить теоремы Томпсона [104] и Глаубермана [80] о существовании нормального р-дополнения в конечных группах или описание квадратичных пар [105]) — с другой стороны два элемента порядка 3 зачастую порождают достаточно просто устоен-ную группу, и это обстоятельство дает ключ к преодолению препятствий, вызванных нестандартным поведением элементов порядка 3.

Некоторые приемы техники работы с инволюциями в конечных группах, в первую очередь идеи работы Р. Брауэра и П. Фаулера [73], в которой доказывалась конечность числа конечных простых групп с заданным централизатором инволюций, были перенесены, развиты и адаптированы к бесконечным группам с инволюциями в ряде работ В. П. Шункова и его учеников. Отметим, прежде всего одну из первых работ В. П. Шункова в этом направлении [60], его классическую теорему о локальной конечности периодической группы с конечным централизатором инволюции [63] и работу А. И. Созутова и В. П. Шункова о непростоте группы с бинарно конечной фробениусовой парой [56]. Современное состояние соответствующей теории изложено в серии монографий Шункова [64]-[66] (см. также библиографию в этих книгах). В последнее время ряд глубоких результатов в отмеченном направлении был получен также В. Д. Мазуровым [20], А. И. Созутовым и Н. М. Сучковым [55]. Во всех этих работах интенсивно используется тот факт, что две инволюции в периодической группе порождают группу диэдра.

Толчком к написанию настоящей работы послужило наблюдение автора (см. [108]), что во многих стандартных ситуациях элементы порядка 3 и 4 ведут себя похожим образом, а именно, порождаемая ими подгруппа конечна и допускает исчерпывающее описание. Это наблюдение привело к понятию квадратичных автоморфизмов и квадратичных элементов, наличие которых в группе позволяет во многих случаях получить, а затем использовать условия конечности для изучения широких классов периодических и смешанных групп, в частности, для изучения групп Фро-бениуса, которые и составляют основной предмет данного исследования, а его целью является разработка техники использования квадратичных элементов в решении актуальных вопросов теории групп. Основными результатами диссертации являются доказательство конечности группы, порожденной двумя квадратичными автоморфизмами абелевой группы (теорема 1), положительное решение задачи В. Д. Мазурова из «Коуров-ской тетради» о конечности периодической группы, порожденной элементами порядка 3 и действующей свободно на абелевой группе (теорема 4), доказательство конечности нормального замыкания элемента простого порядка в группе, действующей на абелевой группе, при условии, что подгруппа, порожденная этим элементом и любым с ним сопряженным, конечна и действует свободно (теорема 7), доказательство конечности группы Фробениуса, порожденной двумя квадратичными элементами (теорема 10), исчерпывающее описание групп Фробениуса, порожденных двумя элементами порядка 3 (теорема 12) и теорема о распознаваемости простых групп L2(2n) по их спектру в классе всех групп (теорема 13).

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Пусть V — аддитивная абелева группа, Е — кольцо всех ее эндоморфизмов. Группа АиЬ{у) всех автоморфизмов группы V является подгруппой мультипликативной полугруппы кольца Е. Основная цель первого параграфа первой главы — изучение подгрупп группы АЫ (У), порожденных квадратичными автоморфизмами, то есть автоморфизмами, каждый из которых как элемент кольца Е является корнем квадратного уравнения х2 + ах + /3 • 1 с целыми коэффициентами. Здесь доказывается.

Теорема 1. Пусть С — группа, порожденная двумя квадратичными автоморфизмами а, Ъ абелевой группы V.

1. Если период га группы V и порядок п произведения аЪ конечны, то С — конечная группа, порядок которой не превосходит т2п — 1.

2. Если С? — периодическая группа, то она конечна.

Отметим, что в пункте 1 теоремы 1 оба условия конечности существенны.

В качестве применения теоремы 1 во втором параграфе первой главы получено описание периодических групп регулярных автоморфизмов, порожденных двумя автоморфизмами, порядки которых не превосходят числа 4. Напомним, что автоморфизм называется регулярным, если он не имеет нетривиальных неподвижных точек.

Теорема 2. Пусть, А — нециклическая периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы <2, порожденная двумя элементами, а и Ь.

1. Если порядок элементов а, Ь равен 3, то, А изоморфна 51²(3) или 5Ь2(5).

2. Если порядок, а равен 3, порядок Ь равен 4, то, А изоморфна (х, ух^ = у4 = 1, х* = ж-1), 5Ь2(3),^2(3) «ли 5^(2,5).

3. Если порядки элементов а, Ь равны 4, то для некоторого натурального числа т группа, А изоморфна (я, ух2т = у4 = 1, ху = х-1, хт = у2).

Из теоремы 2 вытекает частичное решение задачи 10.60 из [15], поставленной А. И. Созутовым.

Следствие 1. Периодическая группа автоморфизмов абелевой группы, содержащая элемент порядка 2 или 3, обладает нетривиальным центром.

В 1999 году В. Д. Мазуров задал следующий вопрос (см. вопрос 14.58 б) в [15]): Пусть, А — периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы. Конечна ли А, если она порождается элементами порядка 3?

Первым шагом на пути к ответу на этот вопрос является.

Теорема 3. Пусть, А — нециклическая периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы, порожденная элементами порядка 3. Если в, А нет подгруппы, изоморфной 6X2(5), то, А изоморфна.

5Х2(3).

Полный ответ на вопрос Мазурова содержится в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть, А — нетривиальная регулярная группа автоморфизмов абелевой группы О, порожденная элементами порядка 3. Если выполнено любое из следующих условий: а) группа, А периодическая, б) группа С? содержит нетривиальный элемент конечного порядка и порядок произведения любых двух элементов порядка 3 из, А конечен, то группа, А конечна и изоморфна группе порядка 3, группе 5X2(3) порядка 24 или группе 6X2(6) порядка 120.

Эта теорема, в частности, дает возможность изучить строение некоторых расщепляемых групп.

Теорема 5. Пусть X — собственная подгруппа группы Н и М = НХ. Пусть порядок каждого элемента из М конечен и взаимно прост с порядком любого элемента конечного порядка из X. Тогда подгруппа X нормальна в Н и Н/Х содержит такую конечную нормальную подгруппу И/Х, что а) множество Н ./V не содержит элементов порядка 3, б) либо группа Ы/Х изоморфна 5²(3) или 6X2(5), либо ее порядок — делитель числа 3.

Более того, если И/Х = 3, то группа X двуступенно нильпо-тентна. Если > 3, то X абелева.

Третий параграф первой главы посвящен доказательству следующего результата.

Теорема 6. Пусть (7 — нетривиальная {2, 3^-группа регулярных автоморфизмов абелевой группы. Если (7 конечна, то верно одно из следующих утверждений:

1) С? — циклическая группа;

2) С = (х, у | х3* = у2' = 1, у~1ху = х-1) для некоторых натуральных чисел t и в, в > 2;

3) О =^х, т/ ж2″ 3' = у4 = 1, у2 — х2° 1з', ху = а—1^ для некоторых натуральных чисел Ь и в, в >2;

4) б? = (ж, у, -г | х4 = г3' = 1, ж2 = у2, ух = у'1, хг = у, уг = ху~1), * — натуральное числодругими словами, С? — расширение группы кватернионов <5 порядка 8 посредством циклической Ъ-группы, индуцирующей в (5 нетривиальный автоморфизм;

5) С = (х, у, г, у), где (х, у, г, у) — группа типа 3, V2 = х2, гу = г-1, У" 1, УУ = я" 1- & изоморфна 5.^2(5);

7) (3 содержит подгруппу индекса 2, изоморфную 5X2(5), и силовская 2-подгруппа из (? — обобщенная группа кватернионов.

Если (7 бесконечна, то подгруппа из Сх, порожденная всеми элементами порядка 3, является циклической, и верно одно из следующих утверждений:

8) С? — расширение локально циклической 2-группы или (возможно, бесконечной) обобщенной группы кватернионов посредством Ъ-группы с единственной’подгруппой порядка 3;

9) (7 — полупрямое произведение локально циклической 3-подгруппы.

Я и циклической 2-подгруппы (й) порядка > 4, г3 = г 1 для любого элемента г? Ят.

10) (7 = {II х У){&euro-), где II — локально циклическая 2-группа или конечная группа кватернионов, V — локально циклическая 3-группа,? — элемент порядка 4, и (?) — (возможно, бесконечная) обобщенная группа кватернионов и у* = у~1 для любого элемента V? V.

Подчеркнем, что только в случае (8) группа может не быть локально конечной.

Для изложения дальнейших результатов удобно перейти от языка автоморфизмов к терминологии, связанной с понятием действия группы на группе. Пусть группа Ст действует на группе V. Назовем это действие свободным, если для любых нетривиальных элементов у? V и д? (2 справедливо неравенство уд ф у. Таким образом, группа, действующая свободно на V, это в точности группа регулярных автоморфизмов V.

В 2001;2 гг. В. Д. Мазуров и В. А. Чуркин в двух работах [21], [22], используя методы доказательств теорем 1 и 4 и технику погружения групп, порожденных двумя квадратичными автоморфизмами абелевой группы в группы бг!^(Р) над конечным или комплексным полем Р, усилили теорему 4, доказав конечность нормального замыкания элемента х порядка 3 в группе С, действующей свободно на абелевой группе, при условии, что любой коммутатор вида [х, д], д? С?, имеет конечный порядок.

В 1993 г. А. И. Созутов [52] перенес теорему Цассенхауза [107], классифицирующую конечные группы, действующие свободно на конечной т у группе, на случай групп (7, порожденных элементами простого порядка и действующих свободно на абелевой группе, при условии, что любые два сопряженных элемента простого порядка из <7 порождают конечную подгруппу.

С помощью следующей теоремы, доказанной в четвертом параграфе первой главы, отмеченные результаты Мазурова, Чуркина и Созутова можно усилить, ослабив в их условиях требование свободы действия всей группы до свободы действия любой подгруппы, порожденной двумя сопряженными элементами.

Теорема 7. Пусть х — элемент простого порядка р из группы (?, действующей на абелевой группе V. Если для любого д 6 С? подгруппа (х, х9) является конечной и действует свободно на V, то группа Н = (хс) конечна и действует свободно на V.

Более точно, либо порядок Н равен р, либо р = 5 и Н изоморфна 6X2(5), либо р = 3 и Н изоморфна одной из групп ¿-Х2(3), 5^(5).

Следствие 2. Пусть С? — группа, действующая на абелевой группе V, их— элемент порядка 3 из (7. Если для любого д? С элемент [.х, д] имеет конечный порядок и подгруппа (х, х9) действует свободно на V, то группа (хс) конечна и действует свободно на V.

Следствие 3. Пусть С — группа, действующая на абелевой группе V. Если для любого элемента х € простого порядка и любого д € С подгруппа (х, х9) является конечной и действует свободно на V, то подгруппа Н группы С, порожденная всеми элементами простого порядка, изоморфна Ьх Л, где Ь либо тривиальна, либо изоморфна 6X2(3), либо изоморфна 5), а Д — прямое произведение групп простых порядков. При этом Н не содержит нециклических конечных абелевых подгрупп.

Как уже отмечалось, следствие 2 обобщает теорему 1 из [22], а следствие 3 — теорему 5 из [52].

Перейдем к содержанию второй главы.

Пусть С? — транзитивная группа подстановок (возможно, бесконечного) множества такая что стабилизатор Н = Са точки абИ нетривиален, а стабилизатор любых двух различных точек тривиален. В частности, Н обособлена в О (термин введен Ю. М. Горчаковым в [8]), то есть Н собственная подгруппа вСиЯП Н9 = 1 для любого элемента д Н. В терминологии В. П. Шункова [61] это означает, что пара (Сг, Н) является парой Фробениуса. Согласно знаменитому результату Г. Фробениуса, если множество П конечно, то Н обладает нормальным дополнением Р в С, состоящим из тривиального элемента и всех элементов группы С, не оставляющих неподвижным ни одного символа из С1. Кроме того, Р регулярная подгруппа, т. е. Р транзитивна и Ра = 1. В этом случае множество подгрупп, состоящее из Р и всех подгрупп (7^,/? Е является расщеплением группы С?, т. е. множеством собственных подгрупп с тривиальными попарными пересечениями, покрывающим группу С.

Для бесконечной группы С? множество Р = (О У С? а)и{1} может не аеп быть подгруппой, и в том случае, когда Р является регулярной подгруппой, мы называем G группой Фробениуса. Отметим, что это определение отличается от определения группы Фробениуса, которое используют П. Нойман и П. Роули в [99] (наша группа Фробениуса — частный случай их расщепляемой группы Фробениуса).

Если G — группа Фробениуса, то а) F — нетривиальная собственная нормальная подгруппа в G, G = FE и F П Я = 1- б) Н П Н9 = 1 для любого элемента д? GHв) F {1} = G (UgeG Н9) = H9).

С другой стороны, если F и Н — подгруппы произвольной группы G, удовлетворяющие условиям (а)-(в), то легко заметить, что G действует правыми умножениями на множестве Q всех смежных классов Нд, д? G, как подстановочная группа Фробениуса и, следуя Шункову [60], мы называем G (абстрактной) группой Фробениуса. Подгруппа F называется ядром Фробениуса, а Н — дополнением Фробениуса (относительно разложения (а)).

Например, группой Фробениуса является полу прямое произведение аддитивной группы произвольного тела F на нетривиальную подгруппу Н его мультипликативной группы, в котором Н действует на F правыми умножениями.

Для конечных групп Фробениуса строение ядра F и дополнения Н хорошо изучено: подгруппа F нильпотентна по теореме Томпсона [103], а Н либо разрешима, либо содержит нормальную подгруппу N ~ SL2 (5) с метациклической фактор-группой H/N. Если, дополнительно, Н не содержит элементов порядка 3 или 4, то Н сверхразрешима [107]. Таким образом, элементы порядка 3 и 4 играют особую роль в строении групп Фробениуса.

Для бесконечных групп ситуация радикально другая. Например, любая группа может быть вложена в ядро некоторой группы Фробениуса и любая правоупорядоченная группа изоморфна дополнению некоторой группы Фробениуса [4]. Положение меняется, если дополнение Фробениуса содержит элементы порядка 2 или 3.

Пусть С — группа Фробениуса с ядром F и дополнением Н. Тогда Н действует свободно на Р при сопряжении, т. е. = / для /? Р, к? Н только если / = 1 или /1=1. Далее, Н действует ко-свободно, т. е. для каждого нетривиального элемента К? Н, отображение фь,: Р —> Р, где фи{1) — //1/1> является накрытием. С другой стороны, если Н — группа автоморфизмов группы Р, действующая свободно и ко-свободно, то естественное полупрямое произведение РН является группой Фробениуса с ядром Р и дополнением Н.

Пусть, а — элемент порядка 3 или 4 из Я. Тогда легко показать, что 6°2 = б-1^-1)0 = Ь~1Ъ~а или, соответственноЬц2 = б-1 для любого Ь? Р. Таким образом, а является квадратичным автоморфизмом в смысле следующего определения, обобщающего соответствующее определение главы 1.

Автоморфизм, а группы X называется квадратичным автоморфизмом, если существуют такие целые числа т = т (а), п = п (а), что для любого х? X справедливо равенство ха = хп{хт)а = хпхта. Если С? — группа Фробениуса, то мы называем элемент д? С? квадратичным, если д индуцирует при сопряжении в ядре Р квадратичный автоморфизм.

В качестве следствия из результатов первой главы в первом параграфе второй главы доказывается гипотеза В. П. Шункова [67] о нильпотентности ядра группы Фробениуса, дополнительный множитель которой содержит элемент порядка 3.

Теорема 8. Пусть РН — группа Фробениуса с ядром Р и периодическим дополнением Н, содержащим элемент, а порядка 3. Тогда группа Р двуступенно нильпотентна, группа (ан) конечна и либо центр группы Н содержит инволюцию, а группа Р коммутативна, либо (а) — нормальная подгруппа группы Н.

Из этой теоремы вытекает утвердительный ответ на следующий вопрос В. П. Шункова из «Коуровской тетради» ([15], вопрос 6.56) для случая, когда простое число р равно трем:

Пусть С = Р (а) — группа Фробениуса, причем дополнение (а) имеет простой порядок р. а) Если С бинарно конечна, то будет ли она локально конечной? б) Если подгруппы (а, а9) конечны для всех д € то будет ли Р локально конечной группой?

На самом деле, справедливо более общее утверждение.

Теорема 9. Пусть (7 — группа Фробениуса с ядром, F и дополнением Н, порожденная конечным множеством элементов порядка 3. Если выполнено любое из условий: а) дополнение Н периодично, б) ядро Р содержит нетривиальный элемент конечного порядка и произведение любых двух элементов порядка 3 из Н имеет конечный порядок, то группа С? конечна.

Кроме того, из теоремы 8 вытекает, что периодическая группа Фробе-ииуса, порожденная элементами порядка 3, локально конечна. Отметим, что аналогичное утверждение для групп Фробениуса с периодическим дополнением неверно.

Второй параграф второй главы посвящен доказательству следующего результата и его следствиям.

Теорема 10. Группа Фробениуса, порожденная двумя квадратичными элементами конечного порядка, конечна, и ее ядро абелево.

Следствие 4. Пусть С? — группа Фробениуса, порожденная двумя элементами, порядки которых не превосходят 4- Тогда? конечна и ядро группы (7 абелево.

Это следствие дает, в частности, возможность уточнить и обобщить один результат А. И. Созутова и В. П. Шункова [56] об обособленной подгруппе, в случае, когда она содержит элемент порядка 3. Созутов и Шун-ков доказали, что для группы (7, содержащей обособленную подгруппу Н и обладающей свойством Н содержит элемент, а простого порядка р > 2 и для любого элемента, а 6 й Н подгруппа Ьа = (а, а9) конечна, справедливы следующие утверждения: (7 — полупрямое произведение периодической нормальной подгруппы Р на Н, и, если подгруппа Р некоммутативна, то подгруппа (а) нормальна в Н.

Отметим, что при условии (*) подгруппа Ьд обязательно является группой Фробениуса.

Следствие 5. Пусть Н — обособленная подгруппа группы О, а Е Н — элемент порядка 3 и (а, а9) является группой Фробениуса для любого элемента д Е СН. Тогда С содержит нормальное дополнение Р к Н, Р — периодическая двуступенно нильпотентная группа, Но = (ан} — конечная группа, изоморфная 5²(3), 5Х (2, 5), пли имеющая порядок 3, и (ас) = РЯо — (локально конечная) группа Фробениуса с ядром Р и дополнением Щ.

Другое приложение следствие 4 нашло в исследованиях А. М. Попова [50].

Для доказательства теоремы 10 изучается ко-свободное действие циклической группы С на абелевой группе V и показывается, что если V порождена конечным числом орбит группы С, то С должна быть конечной (леммы 17 и 18). Эти леммы используются также в доказательстве следующего результата.

Теорема 11. Пусть нетривиальная группа Н действует ко-свободно на разрешимой группе Р. Если для любого нетривиального элемента к 6 Н группа Р содержит конечное подмножество М = М (К) такое, что Р = {ткгт Е М, г Е Ъ), то Р и Н конечны.

Следствие 6. Группа Фробениуса с конечно порожденным разрешимым ядром конечна.

Следующий результат, связанный с теоремой 10, дает другие достаточные условия конечности группы Фробениуса.

Следствие 7. Пусть (? — группа Фробениуса с ядром F и дополнением Н. Пусть Н порождается элементами порядка 3 и порядок произведения любых двух элементов порядка 3 из Н конечен. Тогда группа Н конечна. Если при этом группа (7 конечно порождена, то она конечна.

В заключительном параграфе второй главы дается классификация групп Фробениуса, порожденных двумя элементами порядка 3.

Теорема 12. Пусть — группа Фробениуса, порожденная двумя элементами х, порядка 3. Тогда ядро Е группы С? — конечная абелева группа, существует такое дополнение Н в О, что х 6 Н, г = уу для некоторого элемента у из Н порядка 3 и элемента V? Е, и с точностью до замены х на х~1 верно одно из следующих утверждений :

1. Элементы х, у совпадают, Н = (х), F порождается элементами vi = v, у2, для которых и порядок у взаимно прост с 3.

2. Н = (х, у) ~ 5X2(3), Е порождается элементами У = У, У{, 1 — 2, 3,4, действие х, у на Е при сопряжении описывается следующими равенствами (мы используем аддитивные обозначения):

УХ = У2, У2Х = —VI — г>2, УзХ = г>4, У4Х = —Уз — У4;

Щ У = -У + У4, У2 у = Уз, Уз У = У 2 — Уз, ЩУ = -VI, и порядок у взаимно прост с 6.

3. Н = (х, у) ~ БЬ2(5), Р порождается элементами у = У, У{, 1 = 2,3,., 8- действие х, у на Р при сопряжении описывается следующими равенствами:

УХ = У2, У2Х = —VI — У2, У3Х = У 4, УХ — —Уз — г/4, уьх = г/б, у&х = уь ~ Щ, и7х = г>8, у&х = -у7 — у8-, VIу = —У — уг/8, = —из, = г-2 — г/3, г/4г/ = —г/5, Щ — У5, У$у = -г>7, У7У = У6 — У7, У8У = УЛ-Уз + Уь+ «7, и порядок у взаимно прост с 30.

Наоборот, пусть группа Н, порожденная элементами х, у действует точно на конечной нетривиальной группе Р так, что выполнено одно из условий 1 — 3. Тогда естественное полупрямое произведение (? = РН является группой Фробениуса, порожденной двумя элементами порядка 3, и верно одно из следующих утверждений: а) {х) = {у) — должается до изоморфизма Н на ^?2(3) — с) отображение х —"•.

GSX2(5), у ->

G SX2(5) продолжается до изоморфизма Н на 5Х2(5).

Пусть G — группа. Спектром группы G называется множество cu (G) порядков ее элементов. Это множество является подмножеством множества натуральных чисел, к которому добавлен, быть может, символ оо.

К настоящему времени показано (см. библиографию в [20]), что многие конечные простые группы можно распознать в классе конечных групп по множеству cu (G). В третьей главе диссертации указываются первые примеры конечных групп, которые с точностью до изоморфизма определяются в классе всех групп своим спектром.

Теорема 13. Пусть G — группа и сo{G) = cj (L2(g)), g = 2m > 2. Тогда G изоморфна L/2(q).

При доказательстве этого результата используются результаты первой главы диссертации.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Работа имеет теоретический характер. В ней используются методы теории конечных групп, комбинаторной теории групп и компьютерной алгебры. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в теории групп, так и в ее приложениях.

Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [108] - [113], при этом работы [108] и [113] написаны в нераздельном соавторстве с В. Д. Мазуровым, остальные выполнены диссертантом единолично.

Результаты диссертации докладывались в 1998 г. в Омске на Международной конференции «Комбинаторные и вычислительные методы в математике» (пленарный доклад), в 1999 г. в Челябинске на Международной конференции «Маломерная топология и комбинаторная теория групп» (пленарный доклад), на международных конференциях «Маль-цевские чтения «в Новосибирске в 2000 г. (краткое сообщение) и в 2001 г. (пленарный доклад), и на заседаниях семинара «Алгебра и логика» в Новосибирске.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту члену-корреспонденту РАН В. Д. Мазурову за всестороннюю помощь в работе.

1. Адян С. И. О некоторых группах без кручения// Изв. АН СССР. Сер.матем. — 1971.-Т.35, ьЗ.- С.459−468.

2. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.- М.:Наука, 1975.

3. Адян С. И. Периодические произведения групп// Тр.мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова.- Т.142.-М.:Наука, 1976. С.3−21.

4. В. В. Блудов. О группах Фробениуса. Сиб. матем. журн., 38, N 6 (1997), 1219−1221.

5. Бусаркин В. М., Старостин А. И. О локально конечных расщепляемых группах// УМН.- 1962. Т. 17, ьб.

6. Бусаркин В. М., Старостин А. И. О расщепляемых локально конечных группах// Мат.сб.- 1963. Т.62, ьЗ.-С.275−294.

7. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы.-М.: Наука, 1968.

8. Горчаков Ю. М. О бесконечных группах Фробениуса// Алгебра и логика.- 1965. Т.4, ь1. С.15−29.

9. Горчаков Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.- М.: Наука, 1978.

10. Григорчук Р. И. К проблеме Бернсайда о периодических группах// Функцион. анализ и его приложения. 1980. Т. 14, ь1. С.53−54.

11. Григорчук Р. И., Курчанов П. Ф. Некоторые вопросы теории групп, связанные с геометрией// Итоги науки и техники. Современные проблемы матем.фундам.направления.- 1990. Т.58.-С. 191−256.

12. Измайлов А. Н., Шунков В. П. Два признака непростоты группы с бесконечно изолированной подгруппой// Алгебра и логика.- 1982.-Т.21, ьб.- С.647−669.

13. Кострикин А. И. О проблеме Бернсайда// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1959, — Т.23, ь1. С.3−34.

14. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.

15. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Новосибирск, 2002.

16. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.

17. Ларин C.B., Созутов А. И. О расщепляемых группах с компонентой расщепления простого индекса// Матем. заметки. Т.57, вып.З.-1995. С.377−385.

18. Мазуров В. Д. Распознование конечных групп по множеству порядков их элементов// Алгебра и логика.- 1998. Т.37, ьб.- С.660−686.

19. Мазуров В. Д. Ослабленная проблема Бернсайда для показателя30// Алгебра и логика. 1969; Т.8, ь4.-С.460−477.

20. В. Д. Мазуров, В. А. Чуркин. О группе, свободно действующей на абе-левой группе. Сиб. матем. журн., 42, N 4 (2001), 888−891.

21. В. Д. Мазуров, В. А. Чуркин. О свободном действии группы на абеле-вой группе. Сиб. матем. журн., 43, N 3 (2002), 600−608.

22. А. А. Махнёв. Конечные группы с небольшими централизаторами 3-элементов. В сб. Исследования в теории групп. Академия наук СССР, Уральское отделение. Свердловск, 1990, 43−53.

23. А. А. Махнёв. Конечные группы с циклическими силовскими 2-подгруппами в централизаторах 3-элементов. В сб. Строение подгрупп в группах. Академия наук СССР, Уральское отделение. Свердловск, 1988, 85−112.

24. А. А. Махнёв. Конечные группы 2-локального 3-ранга 1. Сиб. матем. журн., 29 (1988), 100−110. .

25. А. А. Махнёв. 3-характеризации сбалансированных групп. В сб. Структурные вопросы теории групп. Академия наук СССР, Уральский научный центр. Свердловск, 1986, 85−93.

26. А. А. Махнёв. Некоторые характеризации конечных простых групп. Some characterizations of finite simple groups. (В сб. Структурные вопросы теории групп. Академия наук СССР, Уральский научный центр. Свердловск, 1986, 94−100, 140.

27. А. А. Махнёв. 3-характеризации конечных групп. Алгебра и логика, 24 (1985), 173−180.

28. А. А. Махнёв. Конечные группы малого 2-ранга централизаторов 3-элементов. В сб. Исследования в теории групп. Академия наук СССР, Уральский научный центр. Свердловск, 1984, 113−119.

29. А. А. Махнёв. Конечные группы с самонормализуемой подгруппой порядка 6. II. Алгебра и логика, 22 (1983), 518−525.

30. А. А. Махнёв. Конечные группы с централизатором порядка 6. Доклады Академии наук СССР, 284 (1985), 1312−1313.

31. А. А. Махнёв. Конечные группы с централизатором порядка 6. II. Алгебра и логика, 19 (1980), 214−223, 251.

32. А. А. Махнёв. Конечные группы с самонормализуемой подгруппой порядка 6. Алгебра и логика, 19 (1980), 91−102.

33. А. А. Махнёв. Конечные группы с централизатором порядка 6. Алгебра и логика, 16 (1977), 432−442.

34. А. А. Махнёв. Группы с централизатором порядка 6. Матем. заметки, 22 (1977), 153−159.

35. Новиков П. С. О периодических группах// ДАН СССР.- Т. 127.-С.749−752.

36. Новиков П. С., Адян С. И. О бесконечных периодических группах. -I, II, III // Изв. АН СССР. Сер.матем.- 1968. Т.32, NN 1,2,3. С.212−244, 251−524, 709−731.

37. Ольшанский А. Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами// ДАН СССР. 1979. — Т.245, ь4. С.785−787.

38. Ольшанский А. Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков// Изв. АН СССР. Сер.матем.- 1980. Т.44, ь2. С.309−321.

39. Ольшанский А. Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков// Алгебра и логика. 1982. Т.21, ь5. С.553−618.

40. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.

41. Ольшанский А. Ю., Шмелькин А. Л. Бесконечные группы// Итоги науки и техники ВИНИТИ Совр. пробл. мат. Фундам. направл. -1989. Т.37. С.5−113.

42. Подуфалов Н. Д. Конечные простые группы без элементов порядка 6,10// Алгебра и логика. 1975. Т.14, ь1. — С.79−85.

43. Подуфалов Н. Д. Конечные простые группы без элементов порядка 6// Алгебра и логика. 1977. Т.16, ь2. С.200−203.

44. Подуфалов Н. Д. О конечных простых группах с 3- скованными 3-локальными подгруппами //Алгебра и логики, Новосибирск. -1981.-Т.20, ь2. С.183−206.

45. Подуфалов Н. Д. О существовании сильно рвложенных подгрупп в конечных группах// Алгебра и логика.- 1976. Т.15, ь1. С.71−88.

46. Подуфалов Н. Д. 3- характеризации конечных групп// Алгебра и логика. -1979. Т.18, ь4. С.442−462.л.

47. Подуфалов Н. Д. 3- локальные подгруппы в конечных простых группах// Дисс. докт.физ.-мат.н. Новосибирск.- 1983.

48. Подуфалов Н. Д. Конечные простые группы типа характеристики 2 и 3 // Успехи матем. наук. 1981. Т.36, ьб.- С.227−228.

49. Попов A.M. Об одном призн’аке непростоты групп с инволюциями// Алгебра и логика. -2003. Т.42, ь2. С. 198−206.

50. Санов И. Н. Решения проблемы Бернсайда для периода 4// Учен, записки ЛГУ. Сер. матем, — 1940. Т.Ю.- С.166−170.

51. Созутов А. И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса// Сиб.матем.ж.- 1994, — Т.35, ь4. С.893−901.

52. Созутов А. И. О группах с классом фробениусово-абелевых элементов// Алгебра и логика.- 1995. Т.34, ь5. С.531−549.I.

53. Созутов А. И. О группах с фробениусовыми парами сопряженных элементов// Алгебра и логика. 1977. Т.16, ь2. С.204−212.

54. Созутов А. И., Сучков Н. М., О некоторых бесконечных расщепимых (В, iV)-napax. Доклады АН, 376, ь 1 (2001), 21−23.

55. Созутов А. И., Шунков В. П. Об одном обобщении теоремы Фробени-уса на бесконечные группы// Матем. сб.- 1976. Т.100, ь4. С.495−506.

56. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами// Алгебра и логика. 1977. Т.16, ьб,-С.711−735.

57. Созутов А. И., Шунков В. П. О бесконечных группах, насыщенных фробениусовыми подгруппами II// Алгебра и логика.- 1979. Т. 18, ь2. С.206−223.

58. Старостин А. И. О группах Фробениуса// Укр.матем.ж.- 1971. Т.23, ь5. С.629−639.

59. Шунков В. П. О некотором обобщении теоремы Фробениуса на периодические группы// Алгебра и логика.- 1967, — Т.6, ьЗ.- С.113−124.

60. Шунков В. П. Об одном признаке непростоты групп// Алгебра и логика.- 1975. Т.14, ь5. С.491−522.

61. Шунков В. П. О парах Фробениуса вида (F X V, V)// Матем.сб.-Т.180, ь10. 1989. С.1311−1324.

62. Шунков В. П. О периодической группе с почти регулярными инволюциями// Алгебра и логика. 1968. Т.7, ь1. С.113−121.

63. Шунков В. П. Мр-группы// М.:Наука- 1990.

64. Шунков В. П. о-группы// Новосибирск: Наука- 2000.

65. Шунков В. П. О вложении примарных элементов в группе// Новосибирск: Наука- 1992.

66. Шунков В. П. Проблемы о группах с некоторыми условиями конечности// Материалы XVI-й межвузовской конференции, посвященной 370-летию Красноярска. Часть I: секция «Теория групп и приложения» // Красноярск.- 1998. С.39−41.

67. Aschbacher М. On finite groups genrated by odd transpositions. I, II, III, IV // Math.Z.- 1972. B.127, bl.-S.45−56- J.Algebra.- 1973. V.26, ьЗ.-P.451−459- 460−478: 479−491.

68. Aschbacher M. A characterisation of certain Frobenius groups// III. J. Math 1974. V.18, ьЗ.-Р.418−426.

69. Aschbacher M. The finite simple groups and their classification. Jole Univ. Press, 1980.(nepeB. в УМН, 1981, 36, ь2, 141−172).

70. Aschbacher, M., Hall, M. Jr. Groups generated by a class of elements of order 3. J. Algebra 24 (1973), 591−612.

71. Bludov V.V. On Frobenius groups// Sib.mat.zh.-1997.-V.38.-P.1219−1221.

72. Brauer, RichardFowler, K. A. On groups of even order. Ann. of Math. (2) 62 (1955), 565−583.

73. Brauer R., Suzuki M., Wall G.E. A characterization of the one-dimennsional unimodular projective groups over finite fields// Illionois J. Math.- 1958. V.2, l3. P.718−742.

74. Burnside, W. Theory of groups of finite order. 2d ed. Dover Publications, Inc., New York, 1955.

75. R.D.Carmichael. Introduction to the theory of groups of finite order. Boston, 1937.

76. Feit, WalterThompson, John G. Finite groups which contain a self-centralizing subgroup of order 3. Nagoya Math. J. 21 1962 185−197.

77. Fisher B. Finite groups generated by 3-transpositions// University of Warwick (Preprint).

78. Frobenius G. Uber auflosbare Gruppen IV// Sitzungber. Preuss. Akad. Wiss. zu Berlin.-1901.-S.1216−1230.

79. Glauberman, G. Prime-power factor groups of finite groups// Math. Z. 107, 159−172 (1968).

80. Glauberman G. Factorizations in local subgroups of finite groups. Regional conference series in mathematics-conference series in mathematicsProvidence R. I. Amer Math. Soc., 1977, b33-IX.74.

81. Goldshmidt D. Elements of order two in finite groups// Delta (Waukesha) — 1974.-V.4.-P.45−58.

82. Gorenstein, D., Lyons, R., Solomon, R. The classification of the finite simple groups. Mathematical Surveys and Monographs, 40. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

83. Hall M. Solution of the Burnside problem for exponent six// Jllinois. J. Math.-1958.-V.2.-P.764−786.

84. Hall J.I. Graphs, geometry, 3-transpositions, and symplectic F2-transvection groups// Proc. London Math. Soc.-(Ser.3).~ 1989.-V.58.-P.89−111.

85. Hall J.I. 3-Transposition Groups with Non-central Normal 2-Subgroups// J.Algebra.- 1992.-V.146, bl.-P.49−76.

86. Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside’s problem. Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 1−42.

87. Higman G. Groups and ring which have automorphisms without nontrivial fixed elements// J. London Math. Soc.-1957.-V.32.-P.321−334.

88. Higman G. Odd characterisation of finite simple groups. Lecture notesAnn. Arbor: Univ of Michigan 1968.

89. Huppert B. Endliche Gruppen I.// Springer Verlag.- 1979.

90. Huppert B., Blackburn N. Finite groups III.// Springer Verlag.-1982.

91. O.H.Kegel. Lectures on locally finite groups. Oxford, 1969.

92. Khukhro E.I. Nillpotent groups and their automorphisms// De Gruyter Expositions in Mathematics. 8. Berlin: Walter de Gruyter.-1993.

93. Kondratiev A.S. On prime graph components for finite simple groups components for finite simple groups// Math.Sbornik.-1989.-V.180, b6.-P.787−797.

94. Levi F.W. Groups in which the commutator operation satisfies certain algebraical conditions// J. Indian Math. Soc.-1942.-Ser.6.-P.87−97.

95. Levi F., van der Waerden, B. Uber eine besondere Klasse von Gruppen// Abh. Math. Semin. Hamburg Univ.-1932. V.9. P.157−158.

96. Neumann B.H. Groups whose elements have bonded orders// J. London Math.Soc.-1937.-V. 12.-P. 195−198.

97. Neumann B.H. Groups with automorphisms that leave only the neutral element fixed// Arch.Math.-1956.-V.7, bl.-P.-l-5.

98. P.M.Neumann, P.J.Rowley. Free actions of abelian groups on groups. Geometry and cohomology in group theory (Durham, 1994). LondonMath. Soc. Lecture Note Ser., 252, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998, 291−295.

99. Schonert M. et. al, Groups, Algorithms and Programming// Lehrstuhl D fur Mathematik, RWTH, Aachen.-1993. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/gap.

100. W. Shi. A characteristic property of J and PSL2(2n) (in Chinese), t.Adv. in Math., 16 (1987), 397−401.

101. Stellmacher B. Einfache Gruppen, die von einer Konjugiertenklasse von Elementen der Ordnung drei erzeugt werden. J. Algebra 30 (1974), 320 354.

102. Thompson J.G. Finite groups with fixed-point-free-automorphisms of prime order// Proc. Nat. Acad.Sci. U.S.A.- 1959.-V.45.-P.578−581.

103. Thompson J.G. Normal p-complements for finite groups// Math.Z.-1960.-V.72, b 2.-P.332−354,.

104. Thompson, J. G. Quadratic pairs. Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1, pp. 375−376. Gauthier-Villars, Paris, 1971.

105. Thompson J.G. Nonsolvafble finite groups all of whose local subgroups are solvable, Il.-Pacif. J.M.ath., 1970, 33, b2, 451−536.

106. Zassenhaus H. Kennzeichnung' endlicher linearen Gruppen als Permutationsgruppen// Abhandl. math.Semin. Univ.Hamburg.-1936.-V.ll.-S.17−40.Работы автора по теме диссертации.

107. А. Х. Журтов, В. Д. Мазуров. О распознавании конечных простых групп ¿-2(2т) в классе всех групп// Сибирск. матем. журн. 40, N 1 (1999), 62−64.

108. А. Х. Журтов. О квадратичных автоморфизмах абелевых групп// Алгебра и логика 2000. Т.39.-С.320−328.

109. А. Х. Журтов. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса. // Сибирский матем. журн. 2000. Т.41.-С.329−338.

110. А. Х. Журтов. О группах Фробениуса, содержащих элемент порядка 3// Владикавказский матем. журн. 2000. Т.2. ь 2. — С.19−25.

111. А. Х. Журтов. Группы Фробениуса, порожденные двумя элементами порядка 3// Сибирский матем. журн. 2001. Т.42.-С.533−537.

112. А. Х. Журтов, В. Д. Мазуров. О группах Фробениуса, порожденных квадратичными элементами. Алгебра и логика, 42, ь 3 (2003), 271 292.

113. А. Х. Журтов. О группе, действующей локально свободно на абеле-вой группе// Сибирский матем. журн. 2003. Т.43.-С.343−346.ДОКЛАДЫ НА КОНФЕРЕНЦИЯХ.

114. А. Х. Журтов, В. Д. Мазуров. О распознавании конечных простых групп Ь2(2т) в классе всех групп. Комбинаторные и вычислительные методы в математике. Тезисы докладов международной конференции. Омск, 1998, 66−68.

115. А. Х. Журтов. О группах регулярных автоморфизмов абелевых групп. Логика и приложения. Тезисы международной конференции, посвященной 60-летию со дня рождения академика Ю. Л. Ершова. Новосибирск, 2000. С. 49.

116. А. Х. Журтов. О группах Фробениуса. IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова. Тезисы докладов. Новосибирск, 2000. С. 78−78.

117. V.D.Mazurov, A.Kh.Zhurtov. On Frobenius. groups generated by quadratic elements. Ill International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts of Talks. Sumy, 2001, 75−76.

118. A.Kh.Zhurtov. Frobenius groups generated by two quadratic elements of order 3. Ill International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts of Talks. Sumy, 2001, 117−118.

119. А. Х. Журтов, В. Д. Мазуров, О группах Фробениуса, порожденных квадратичными элементами. Международный семинар по теории групп. Тезисы докладов. Екатеринбург, 2001, 77−81.