Математические модели налоговых проверок

Актуальность темы

Создание эффективной налоговой системы является одной из наиболее актуальных задач мировой экономики и, как следствие, математического моделирования экономических процессов. Основополагающими составляющими налоговой системы являются продуманная и адекватная реальной экономической ситуации система налогов и четко функционирующий налоговый механизм, обеспечивающий выполнение налогового законодательства [33]. Его важнейшим элементом является налоговый контроль, включающий набор налоговых проверок различного типа (получение объяснений от налогоплательщиков, проверки данных учета и отчетности, осмотры помещений и территорий и т. д.). В математической литературе, связанной с моделированием налогообложения, не происходит дифференциации по типам и методам проведения налоговых проверок. Зачастую отождествлены понятия налогового контроля, налоговых проверок и аудита.

Классификацию математических моделей налогообложения можно проводить по нескольким критериям.

Во-первых, по той составляющей налоговой системы, которую данная модель исследует. Это может быть исследование налоговой шкалы, системы штрафов и льгот, связанных с налоговыми уклонениями. К такому моделированию относятся работы A. Atkinson, J. Stiglitz, 1972, 1976.

38, 39], Ph. De Dondera, J. Hindriks, 2003 [48], J. Myles, 2000 [55]. С другой стороны, во многих публикациях исследуются проблемы налогового контроля. В число работ по этой проблематике входят, например, следующие: К. Border, J. Sobel, 1987 [40], H. Cremer, M. Marchand, P. Pestieau, 1990 [47], J. Mirrlees, 1971 [54] и т. д.

Вторым критерием классификации можно считать степень адаптации математической модели к экономической реальности. Здесь важным является то обстоятельство, учитывает ли модель специфику какой-либо государственной налоговой системы (T. Srinivasan, 1976 [60]) и такие факторы, как коррупцию и возможные ошибки (А. Васин и соавторы, 1993, 1999, 2005 [10, 61, 62], А. Савватеев, 2003 [30], P. Chander, L. Wilde, 1992 [44], J. Hindriks, M. Keen, A. Muthoo, 1999 [50]).

К третьему критерию можно отнести то, какой тип налогов (прямые или косвенные) и налогоплательщиков (физические [48] или юридические лица [13]) рассматривается в модели. Существуют также обобщенные модели, применимые как к гражданам, так и к организациям (P. Chander, L. Wilde, 1998, [45], I. Sanchez, J. Sobel, 1993 [58]).

При построении и исследовании моделей налоговых проверок используются различные математические подходы. Из них наиболее распространенными являются теоретико-игровое моделирование (А. Васин, П. Васина, 2002 [7], С. Мовшович, 2003 [24], J. Greenberg, 1984 [49], M. Sak-aguchi, 1998 [57], A. Vasin, O. Agapova, 1993, [61]), различные оптимизационные методы (А. Закревский, В. Токарев, 2003, [13], M. Ailing-ham, A. Sandmo, 1972 [37], T. Srinivasan, 1973 [60]), a также теоретико-вероятностное моделирование (I. Macho-Stadler, J. D. Perez-Castrillo, 2002, [53]).

В данной диссертационной работе основным предметом изучения являются модели налоговых проверок, построенные с помощью методов теоретико-вероятностного и теоретико-игрового моделирования.

Вероятностная модель, рассмотренная в работе, построена с ориентацией на подоходный налог физических лиц. Выбор стратегии налоговых проверок осуществляется налоговыми органами с использованием информации о распределении доходов среди населения (такой подход применялся в работах P. Chander, L. Wilde [45] и А. Васина и соавторов [7, 10, 61]) и дополнительной информации о конкретном налогоплательщике, отражающей его склонность занижать декларируемый доход (подобная информация рассматривалась раньше в работах I. Macho-Stadler, J. D. Perez-Castrillo [53]).

Теоретико-игровая модель взаимодействия между налоговыми органами и налогоплательщиками построена на базе иерархической игры в силу структуры самих налоговых органов и их взаимодействия с налогоплательщиками. Ранее эта специфика налоговой политики исследовалась подробно в работе I. Sanchez, J. Sobel [58]. Нужно отметить, что задача налогового администрирования чаще всего решается в классической постановке «принципал-агент» (P. Chander, L. Wilde [45], J. Greenberg [49] J. Reinganum, L. Wilde [56] и т. д.). Структура модели не зависит от типа налогоплательщиков и подходит для описания налоговых проверок частных и юридических лиц.

Рассмотренная в диссертации теоретико-игровая модель обобщена на случай инспектирования с учетом коррупции. Проблема коррупции и ее подавления широко исследовалась в работах А. Васина и соавторов [8, 10, 62], А. Савватеева [30], P. Chander, L. Wilde [44], J. Hindriks,.

M. Keen, A. Muthoo [50]. Первоначальная иерархическая структура была усложнена и стала трехуровневой за счет введения дополнительного звена — инспектора, который может оказаться взяточником. В качестве способа подавления коррупции на базе данной модели исследовалось проведение дополнительного контроля.

Методы теории поиска, изложенные в книге О. Хеллмана [35], и игры поиска, изученные в работах JI. Петросяна совместно с А. Гарнаевым [27] и Н. Зенкевичем [28], в дайной диссертационной работе были применены к задаче поиска возможного уклонения от уплаты налогов. С их помощью получен инструментарий, позволяющий учитывать имеющиеся у налоговых органов ресурсы и эффективность проводимых налоговых проверок.

В перечисленных выше задачах прежде всего исследуется вопрос нахождения оптимальных стратегий игроков с использованием различных критериев оптимальности, то есть, реализации различных функций налоговой системы (фискальной, распределительной, социальной и контрольной [33]).

Вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности тематики, а также о том, что проведенное исследование вносит определенный вклад в развитие математического моделирования налогообложения.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей налоговых проверок. Рассмотрены теоретико-вероятностный и теоретико-игровой подходы. Изучена возможность использования дополнительной информации о налогоплательщиках при решении задачи поиска оптимальных стратегий налоговых органов.

Научная новизна работы. В работе впервые исследуются специфические модели налогового контроля: вероятностная модель налоговых проверок и теоретико-игровая модель взаимодействия налоговых органов и налогоплательщиков.

Отличительной чертой первой модели является разбиение налогоплательщиков на группы по их уровню дохода и выбор налоговыми органами стратегии налоговых проверок с учетом профилей согласованности декларируемого дохода различных групп налогоплательщиков с их истинным уровнем дохода. Ее обобщением является модель «аудита с сигналом», основанная на использовании условных вероятностей и рассматривающая дополнительную информацию о склонности конкретного налогоплательщика занижать декларируемый доход в качестве фактора, влияющего на выбор стратегии налоговых органов.

В более ранних публикациях со схожей проблематикой [7, 10, 44, 45, 61, 62] рассматривалось бинарное распределение дохода налогоплательщиков. Теоретико-игровая модель, представленная в диссертационной работе, отличается от моделей указанных авторов предположением о неоднородности налогоплательщиков не только по уровню дохода, но и по затратам налоговых органов на осуществление проверок. Данная модель исследована для описанных в [7, 10, 61, 62] линейных и дополнительного нелинейного вариантов штрафования. Специфической чертой теоретико-игровой модели также является лежащее в основе построения иерархической игры предположение о том, что стратегия налоговых органов не зависит от декларируемого в данном налоговом периоде дохода налогоплательщиков.

На базе перечисленных моделей изучены способы подавления коррупции, осуществлен поиск значений параметров, обеспечивающих эффективную работу налоговой системы, проведен сравнительный анализ ее фискальной и других функций (социальной, распределительной, контрольной) [33]. К фискальной функции относится задача максимизации ожидаемого дохода налоговых органов. Важным условием в реализации других функций налоговой системы является достижение профиля с максимальной согласованностью декларируемого и истинного дохода налогоплательщиков (ситуации, в которой отсутствуют налоговые уклонения). Условия, в которых указанные функции реализуются совместно, исследованы с помощью численного эксперимента при определенных допущениях.

На базе вероятностной модели изучен вопрос об оптимальном распределении бюджета налоговых органов на проведение проверок в различных группах налогоплательщиков.

С использованием свойства семейств сопряженных распределений разработан метод оценивания склонности налогоплательщика к уклонению от уплаты налогов при имеющейся у налоговых органов информации о наличии его уклонений в предшествующие периоды. Проведен численный эксперимент, иллюстрирующий использование данного метода.

Также в работе рассматривается задача поиска налогового уклонения при ограниченном временном и других ресурсах, решение которой произведено с помощью теории поиска неподвижного объекта большой поисковой системой [35].

Практическая ценность работы заключается в возможности расчета и применения на практике найденных оптимальных стратегий игроков с учетом поправок, вносимых экономической ситуацией (численных значений налоговых и штрафных ставок, специфическими аспектами налотового законодательства и т. д.). К полученным результатам также относятся найденные способы подавления коррупции. Предложенный в работе метод оценивания склонности налогоплательщика к уклонению позволяет налоговым органам в реальной жизни выбирать стратегию проверок, опираясь на «налоговую историю» данного налогоплательщика. Изученная проблема эффективности налоговой проверки позволяет учитывать ресурсы (временной промежуток и затраченные поисковые усилия), которыми располагают налоговые органы.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Дискретная вероятностная модель налоговых проверок налогоплательщиков с рациональным поведением;

2. Теоремы о стратегиях налоговых органов, позволяющих повысить согласованность декларируемого и истинного дохода налогоплательщиков (для вероятностной модели);

3. Теоретико-игровая модель взаимодействия налоговых органов с налогоплательщиками по схеме «принципал-агент»;

4. Теоремы об оптимальных (в смысле максимизации функции выигрыша) стратегиях игроков для различных вариантов штрафования (для теоретико-игровой модели);

5. Метод оценивания склонности налогоплательщика к налогвому уклонению, основанный на его «налоговой истории»;

6. Теорема об оптимальных (в смысле максимизации функции выигрыша) стратегиях игроков в условиях подавления налоговыми органами коррупции.

Апробация работы.

Основные результаты были представлены на VI Московской Международной конференции по исследованию операций ORM2010 (Москва, 2010) — на Международной конференции «International Conference on Stochastic Optimal Stopping», SOS2010 (Петрозаводск, 2010) — на Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010) — на Международном семинаре «Сетевые игры и менеджмент» NGM2009 (Петрозаводск, 2009) — на III и IV Международных конференциях «Теория игр и менеджмент» GTM'09 и GTM'10 (Санкт-Петербург, 2009, 2010) — на Международном семинаре «International Workshop on Optimal Stopping and Stochastic Control» (Петрозаводск, 2005) — на VI и X Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005, 2009) — на III Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (Санкт-Петербург, 2004) — на XXXIV, XXXV, XL и XLI научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2009 и 2010), а также на семинаре кафедры исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, семинарах кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики — процессов управления и семинарах Центра теории игр Санкт-Петербургского государственного университета.

По материалам диссертации опубликованы работы [3] [4], [5], [6], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [41], [42], [43], [51], [52], две из которых — в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы (которые, в свою очередь, разбиты на подпараграфы), заключения и списка используемой литературы.

Заключение

.

В силу особого места, которое занимает налоговая система в решении задач национальной экономики, важнейшее значение приобретает проблема ее эффективности, то есть способности выполнять возложенные на нее функции [33]. Одной из главных задач налоговой системы является формирование механизма, обеспечивающего выполнение налогового законодательства. Наряду с адекватными экономическим и социальным требованиям данного государства налоговой шкалой и системой льгот, наказаний и штрафов, важнейшим аспектом этого механизма является налоговый контроль.

В данной работе рассмотрены различные типы математических моделей налогового контроля.

Первая глава посвящена вероятностной модели налоговых проверок (аудита), ориентированной на возможность использования, помимо информации о декларируемом доходе, некой дополнительной информации о распределении дохода среди населения.

При построении модели была произведена дискретизация истинной налоговой ответственности I налогоплательщиков (безразмерной относительной величины): диапазон возможных налоговых отчислений был разбит на N интервалов, каждому из которых соответствует определенная группа налогоплательщиков. Постулируя рациональность поведения налогоплательщиков, было сделано предположение о том, что уклонение группы налогоплательщиков с одинаковым доходом возможно только до уровня налоговой ответственности группы с более низким доходом. В § 1.1 — § 1.4 также предполагалось, что уклонение конкретной группы налогоплательщиков может существовать только тогда, когда уклоняются граждане с более высоким уровнем дохода. Рассматривался вариант штрафования (за уклонение от налогообложения), пропорционального уровню уклонения.

В рамках сделанных предположений были выделены N различных профилей согласованности декларируемой налоговой ответственности налогоплательщиков с истинной. При анализе этих профилей был сформулирован критерий реализации самого согласованного профиля — теорема 1.

Отдельно был изучен вопрос оценки дохода налоговых органов при обеспечении различных степеней согласованности и бюджета налоговых органов, необходимого для реализации самого согласованного профиля.

Осуществлен численный эксперимент, позволяющий исследовать вопрос о стоимости согласованности для модели с N — 8 профилями, построенной исходя из статистической оценки данных о распределении численности работников по размерам заработной платы, ежегодно проводимой Росстатом совместно с Научно-исследовательским институтом проблем социально-экономической статистики [23]. С помощью равномерного распределения и распределения Парето были найдены средние уровни дохода в различных группах граждан и соответствующие значения налоговой ответственности. При некоторых логически обоснованных допущениях о соотношении параметров модели для различных значений штрафных ставок были получены стратегии налоговых проверок, реализующие самый согласованный профиль, и проведена оценка стоимости его реализации. Также был исследован вопрос о распределении ограниченного бюджета налоговых органов.

Численный эксперимент дал результаты, согласующиеся с мировой экономической практикой [31, 32]. Так, например, было получено, что повышение согласованности требует повышения штрафной ставки, что для пресечения наименьшей согласованности достаточно осуществлять проверку доли населения, декларирующего наименьший уровень дохода (прожиточный минимум), и что даже при возможности достижения самого согласованного профиля он является оптимальным с точки зрения дохода налоговых органов только при существенных ограничениях. При исследовании задачи об ограниченном бюджете было получено, что политика налоговых органов, направленная на достижение большей согласованности, приносит меньший чистый налоговый доход.

В качестве обобщения была рассмотрена «модель с сигналом», в которой учитывалась некоторая хорошо согласованная с истинным уровнем дохода налогоплательщиков информация (названная сигналом), отталкиваясь от которой налоговые органы принимают решение о проведении проверки.

С использованием свойств условных вероятностей для данной модели был получен критерий отсутствия уклонения налогоплательщиков до уровня налоговой ответственности группы с более низким доходом — теорема 2.

Также была рассмотрена задача о бюджете, позволяющем реализовать оптимальные (в смысле отсутствия уклонения) налоговые проверки в определенной группе, то есть, тот или иной профиль согласованности. Ранее этот вопрос поднимался в публикациях [53, 58]. Для модели, построенной в § 1.5 были получены оптимальные стратегии и оптимальный бюджет проверок налогоплательщиков, декларировавших определенный уровень налоговой ответственности, в зависимости от доли, на которую поступил сигнал о возможном уклонении. Результаты решения указанных задач сформулированы в теореме 3.

В § 1.6 приведено обобщение описанной модели, полученное при отказе от предположения о том, что уклонение налогоплательщиков ограничено снизу предыдущим уровнем налоговой ответственности и возможно только тогда, когда уклоняются налогоплательщики с более высоким уровнем дохода. Отказ от данного предположения модифицирует понятие профиля согласованности и существенно увеличивает число возможных ситуаций. Однако, рассуждения, построенные в соответствии с последовательным исключением наименее согласованных профилей, приводят к подтверждению теоремы 1.

Во второй главе моделирование налогового контроля осуществляется с помощью теоретико-игрового подхода. Налоговый контроль рассматривается как взаимодействие различных участников механизма налоговых проверок, и его модель опирается на иерархическую игру, в которой в качестве игроков выступают налоговые органы и п налогоплательщиков. Взаимодействие налоговых органов с каждым налогоплательщиком предполагается соответствующим схеме «принципал — агент», поведение игроков считается риск-нейтральным. В рамках данной модели рассматриваются варианты штрафования, указанные в работах [7, 10], а также пример нелинейного штрафа. Для всех способов штрафования построены функции выигрыша и осуществлен поиск оптимальных стратегий игроков. Результаты с учетом всех частных случаев сформулированы в виде теорем 4−6.

Как и в предыдущей главе, отдельно рассматривается вопрос об использовании налоговыми органами дополнительной информации о налогоплательщиках. Но, в отличие от вероятностной модели, описанной в главе 1, здесь речь идет не об оценке дохода налогоплательщиков, а об оценке их склонности к уклонению от уплаты налогов. Предложенный метод подобного оценивания базируется на использовании свойства сопряженных распределений, описанных в [12], и понятия «налоговая история». Делая предположение об априорном распределении случайной величины характеризующей склонность к-го налогоплательщика к уклонению от уплаты налогов, с помощью налоговой истории по результатам последней проведенной проверки вычисляются параметры апостериорного распределения. Вероятность проведения налоговой проверки к-го налогоплательщика вычисляется как квантиль апостериорного распределения ¥-к после предыдущей проверки.

Был проведен численный эксперимент, наглядно демонстрирующий применение указанного способа выбора стратегии налоговых органов, для штрафов, пропорциональных уровню уклонения и обнаруженному недоплаченному налогу.

К построенной модели также были применены другие критерии оптимальности. Вместо изученной ранее фискальной функции, осуществлен поиск стратегии, реализующей принцип справедливости налоговой системы. То есть, в качестве задачи налоговых органов рассматривается не максимизация чистого дохода, а минимизация числа уклоняющихся налогоплательщиков. На базе изученной модели проведено сравнение полученной в работе оптимальной стратегии налоговых проверок и «порогового правила», предложенного в [7, 10].

Третья глава посвящена моделям, учитывающим коррупцию и ресурсы налоговых органов.

На базе описанной в главе 2 модели исследуется специфика налоговых проверок в условиях коррупции. Определено условие взаимовыгодной для налогоплательщика и инспектора взятки. Результат поиска оптимальных стратегий и функций выигрыша игроков сформулирован в теореме 7. Отдельно изучены случаи убыточной деятельности налоговых органов.

Стоит отметить, что полученные в случае с коррупцией для данной модели результаты хорошо согласуются с более ранними результатами, полученными в посвященных проблемам коррупции работах [10, 61, 62].

Иерархическая структура налоговых органов позволяет применить к задаче о налоговых проверках теорию поиска неподвижной цели с помощью большой поисковой системы, описанной в [35]. С помощью этой теории был создан математический инструментарий поиска налогового уклонения в одном из филиалов многофилиалыюй компании. Его применение эффективно для решения тех задач, в которых рассматривается вопрос о распределении затрат ресурсов (времени, денежных средств, поисковых единиц), а также задач, учитывающих различные способы распределения имеющегося налогового уклонения. Подробно рассмотрены несколько примеров указанных моделей, основанных на играх, описанных в [27, 29].

Таким образом, в диссертационной работе рассмотрены два принципиально различных подхода к моделированию налогового контроля: вероятностное моделирование налоговых проверок и теоретико-игровое моделирование взаимодействия налоговых органов с налогоплательщиками с помощью иерархических игр.