Асимптотическое поведение решений полулинейных параболических уравнений второго порядка

Работа посвящена изучению асимптотического поведения решений некоторого класса параболических задач в цилиндрической области. Изучаются решения полулинейного параболического уравнения, удовлетворяющие условию Неймана на некомпактной части границы, и решения линейного параболического уравнения, удовлетворяющие нелинейному краевому условию. Основное внимание уделено асимптотике положительных решений.

Глава 1 носит вспомогательный характер.

В главе 2 в полубесконечном цилиндре (я, t) g Q x R+ рассматриваются решения полулинейного параболического уравнения.

0 ди ди щ = 'S, а = const > 0 j=.

J dxi dxj dxi удовлетворяющие на Ш x R+ краевому условию Неймана: ди п cos (n, Xi) = 0, (0.2).

J=i.

Предполагается, что Q — ограниченная область с липшицевой границей, коэффициенты ciij (x) удовлетворяют условию эллиптичности и симметричности, а-(х) — ограничены и измеримы, а (х) — неотрицательная ограниченная функция такая, что ess info а (ж) ф 0. Под решением и (х, t) уравнения (0.1), удовлетворяющим условию (0.2), понимается обобщенное решение и (х, t) принадлежащее [а, 6]) при любых 0 < а < 6 удовлетворяющее уравнению (0.1) и условию (0.2) в смысле интегрального тождества. Точный вид интегрального тождества приведен на странице 31, определение пространства W2'1 дано в § 0.2. Здесь отметим только, что из теории линейных параболических уравнений следует, такие решения непрерывны и гель-деровы в каждом конечном цилиндре U х [а, Ь], а > 0 вплоть до его границы.

Исследованием асимптотического поведения решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), занимались P. Baras, L. Veron, В. Н. Арефьев, Ю. В. Егоров, В. А. Кондратьев, О. А. Олейник. Основные результаты содержатся в работах [17, 21, 18, 22] и других.

В работе [18] рассматривалось уравнение (0.1) с о,-(аг) = 0, и было доказано, что все его решения, удовлетворяющие условию (0.2), стремятся к нулю при t —> оо равномерно в и найден первый член асимптотики решения при tоо. А именно доказано, что для любого решения существует равномерный по П предел при t —> оо: tV’uM^Л 6 {-со, 0, с0}, где с0 = •.

В случае произвольных аг-(я) доказательство стремления всех решений к нулю может быть проведено аналогично (§ 2.1).

В работе [21] установлено, что если а{х) = ао = const > 0, то любое решение уравнения (0.1), удовлетворяющее граничному условию (0.2), имеет вид u (x, t) = C (t + г)-1'" + о (е~ы) при t-> оо, где-либо С = 0, либо |С| = (стао)-1^, т. = const зависит от и, а, а = const > 0 от и не зависит. Более того С = 0, тогда и только тогда, когда решение обращается в ноль при сколь угодно больших t.

В главе 2 настоящей работы доказывается, что пространство решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), в «целом» устроено также, как в случае а (х) — const > 0. В теореме 2 § 2.2 доказывается экспоненциальное убывание при t —оо, осциллирующих, то есть обращающихся в ноль при сколь угодно больших t, решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2). Отметим, что такие решения существуют.

Асимптотическое поведение положительных решений характеризуется теоремой 4 § 2.4, утверждающей, что для любого положительного решения u (x, t) уравнения (0.1), удовлетворяющего условию (0.2), можно при любом N подобрать непрерывные в Q функции <�рц = 0 тогда и только тогда, когда а (х) — const.

В теореме 5 § 2.5, показано, что для любых двух положительных при t оо решений u (x, t) и v (x, t) уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), существует такая константа г, что u (x, t) — v (x, t + r) = о (е~а'), при t —> оо где, а = const > 0 число меньшее, чем вещественная часть любого ненулевого собственного значения однородной краевой задачи Неймана в области Q.

Доказательства теорем 4 и 5 основано на методах разработанных в [20].

В § 2.7 в случае а (х) = 0 дается уточнение формулы (0.4). Строится асимптотическое разложение решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2), в виде оо u (x, t) ~ щ (х, Ь) + vm (x, t) e Arnt при t —> оо m=l где Am = const > 0, функция щ имеет асимптотическое разложение определямое формулой (0.4), функции vm (x, t) обладают степенной асимптотикой вида (0.4).

В главе 3 рассматриваются положительные решения линейного уравнения теплопроводности i, j= 1 J удовлетворяющие на Q х нелинейному краевому условию Неймана: jj + a (s)u" u = 0 (0.6) коэффициенты aij (x) = aji (x) — измеримы и удовлетворяют условию эллиптичности, функция a (s) > 0 ограничена и такова, что fan a (s)ds >

Для любых двух положительных решений u (x, t) и v (x, t) уравнения (0.5), удовлетворяющих условию (0.6) доказывается существование такой константы г, что разность u (x, t) — v (x, t + г) = o (e~ai) при t —оо, где, а = const > 0. План доказательства в основном такой же как для решений уравнения (0.1), удовлетворяющих условию (0.2). Сначала для решения линейного уравнения (0.5), удовлетворяющего краевому условию + (ф)Г1 + о (Г1~?))и = 0. (0.7) на границе цилиндрической области доказывается теорема 8, об альтернативе между степенным убыванием с фиксированным показателем, определяющимся параметрами задачи, и экспоненциальным убыванием. Это утверждение является аналогом теоремы 4.1(5.2) [20] для случая краевого условия (0.2). Доказательство теоремы 8 получается сведением условия (0.7) к условию (0.2), и использования теоремы 4.1 работы [20]. Для окончания доказательства теоремы 8 требуется теорема 1, доказанная в § 1.2 методом, аналогичным примененному в [22].

В главе 4 изучается асимптотическое поведение в цилиндрической области положительных решений уравнения удовлетворяющих условию Неймана (0.2). Доказывается теорема 10, утверждающая, что все решения имеют вид и (х, t) = [(1 -q)(t + П))]1^ + 0(e~at), при t оо где, а = const > 0 не зависит от решения.

В главе 5 изучается решение задачи Коши для полулинейного параболического уравнения l-(aij (x, t)^-) — и°и = щ (0.8) с финитным начальным данными (0,х) G L (Rn) в случае критического параметра, а = п/2.

Для оператора Лапласа a, j = Sij случай критического параметра изучался в работах [26, 27, 28]. В [26] было получено, что при, а — п/2 для любого решения (0.8) с положительным начальным данным из L{Rn) имеет место оценка.

2lnn/2(? + ?oM*, z) > а для а-? A" «, t > е, К — компакт в IRn, а = const > 0. В [27] кроме аналогичной оценки снизу, имеется еще оценка сверху u (t, x) < H[(t + to) ln ({ + to)]-/2exp{-41,+, 0) llJl-,(i+lo)1J всюду в R x IR» «, с некоторыми постоянными > e2, a > 0, H > 0 для любого решения уравнения (0.8) с начальным данным w (0, х) = о (ехр (—7|х|2)) при |я| —> оо.

В главе 5 доказывается, что для решения уравнения (0.8) с финитным начальным данным и (0,х) выполнено и = о (?~п/2), при t оо равномерно по х G Rn.

Автор искренне благодарит своего научного руководителя В. А. Кондратьева за постановку задач и постоянное внимание к работе.

0.2 Основные определения, обозначения, накладываемые условия х = {х,. хп) — точка в IRn.

Q — ограниченная область в Нп, с липшицевой границей dQ, таким образом для каждой точки G dQ существует шар В (хо) центром в а? о и такое взаимно однозначное отображение ф этого шара В на D G JR" «, что 1) ф (ВПО) С IR+, 2) ф{ВПдП) С 3) ф G С0>1(#), ф~1 G C0,1(D). (см [4, стр 95]) п — единичный вектор внешней нормали Па, ь — цилиндр {(я,?)|:е G G (a, b)}.

Па = Паоо.

Sa, b — боковая поверхность цилиндра {(:c, f)|# G dQ, t G (а, Ь)} ~ Satoо.

Для функциональных пространств используются следующие обозначения, принятые в [1] :

1²(0) — гильбертово пространство состоящее из всех измеримых в смысле Лебега на Q функций, суммируемых по Q со степенью 2. Скалярное произведение в нем определяется равенством (и, v) = f uvdx, n норма обозначается ||w||2.

Loo{ty — существенно ограниченные функции в Q, с нормой ||w||oo = ess supn |и (ж)|.

WjM^) — гильбертово пространство состоящее из всех элементов ?2(0), имеющих обобщенную производную по каждой из переменных принадлежащую ?2 (О).

И^'^Па^) — гильбертово пространство со скалярным произведением u, v) w1,0 = f (uv + ELi uXkvXk) dxdt ne, b.

И^'^Па^) — гильбертово пространство со скалярным произведением и, v) wi. i = f (uv + utvt + J2kZi uXkvXk) dxdt n0)6.

2(Па, ь) — банахово пространство, состоящее из всех элементов W21,0(n< имющих конечную норму ||u||y3 = ess max \u{x, t)\L2^ + ||Vu||?2(nafr), ½ здесь ||Vw||L2(na, b) = [fnabEk=:iuidxdtJ.

V2l'°(naib) — банахово пространство, состоящее из всех элементов ^2(Па, б), непрерывных по t в норме ^(О), то есть t + h) — и (х, t) ||jr,(n) -> 0 при h -> О, с нормой max NM)||*(n, + ||Vu||La (neib).

О решениях:

В основном все решения уравнений, о которых пойдет речь, можно рассматривать, как обобщенное решения в По уравнения.

П Q Tl дхМ^^ + *)u*< + *)и ~ Щ = ^ i, j=l 1 3 i—i удовлетворяющее на So краевому условию: ди где = a>ij (x, t) ux. cos (n,^-), — производная по конормали.

Коэффициенты а^- как правило зависят только от х. При этом предполагается, что они — измеримые в функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности п.

Но: i/ilCl2 < < */2|?|2, при 0 < < е IRn i, j= 1.

В случае когда коэффициенты ау зависят и от предполагается что при любых а,&функции aij (x, t) измеримы в Па>&и удовлетворяют в По условию п.

Щ v\Z, 2 < М*" *)&?" ^ при 0 < щ < ½ ij= 1 в котором Vii = const не зависят от а, Ь.

Обычно также предполагаются выполненными условия симметричности.

Hi: a, ij = aji.

От других коэффициенов требуется следующее.

Щ ' a, i (x, t), a (x, t) измеримы в П^, ограничены в По.

Если коэффициенты а^ зависят только от х, f (x, t) G ½{На, ь) и выполнены условия Щ — #2, то решение из пространства И^'^Па^), то есть когда имеет место тождество я п р П Л / uiptdxdt + ^^ / aij (x)ux^x.dxdt — / ai (x, t) uXiil>dxdt—.

П0)6 г, 7=1 1=1 ''Па, 6 / a (x, t) uil)dxdt + / f (x, t) ipdxdt = 0, «/па, 6 Jna, b ri.i. для всех функций ф (х, Ь) € W2' (Па1ь), таких что = = 0, является элементом И¹' (Па>б), и справедливо.

С «» г «» г.

I Ufipdxdt + 2] I aij (x)uXjipXidxdt / ai{x, t) ux. ipdxdt— / a (x, t) uipdxdt + / f (x, t) il>dxdt = 0, •/na, 6 Упа, ь для всех функций ip (x, t) G И²¹, 0(Па1б). [5, 3].

1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// Москва, Наука, 1967.

2. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа// Москва, Наука, 1973.

3. Ильин A.M., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. //УМН т. 17 3(105) (1962) 3−146 //(перепечатано) Труды семинара И. Г. Петровского вып. 21 (2001), 9−193.

4. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка// Москва, Наука, 1989.

5. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики М, Наука, 1973.

6. Moser J. A Harnack Inequality for Parabolic Differential Equations // Communications on pure and applied mathematics, vol 17 (1964), pp. 101−134.

7. Нэш Дж. О непрерывности решений параболических и эллиптических уравнений. сб. переводов Математика 4:1 (1960) 31−52.

8. Порпер Ф. О., Эйдельман С. Д. Свойства решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами // Труды московского математического общества, том 54 (1992), 118−159.

9. Agmon, S. and Nirenberg, L. Properties of Solution of Ordinary Differential Equations in Banach Space // Communications on Pure and Applied Mathematics 1963 № 16 pp. 121−239.

10. Davies E.B. Heat kernels and spectral theory, Cambridge University Press, 1989.

11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа // Москва, Наука, 1965.

12. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН 1964 т 19 № 3 стр 53−161.

13. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных операторов // УМН 12, вып 2, 1957, стр. 43−118.

14. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Доклады Академии Наук СССР, 1951, (LXXVII), вып 1, стр 11−14.

15. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше // Матем. сб. 1971 vol 84 (126) № 4 стр 607−629.

16. Gmira, A. and Veron, L. Asymptotic Behaviour of the Solutions of a Semilinear Parabolic Equation // Monatshefte fur Mathematik, Bd. 94 (1982), № 4, pp. 299−311.

17. Baras, P. and Veron, L. Comportement asymptotique de la solution d’une equation devolution semi-lineaire de la chaleur // Commun. Part. Differ. Equat. 1979 vol. 4 pp. 795−807.

18. Kondratiev, V. A. and Veron, L. Asymptotic Behaviour of Solutions of Some Nonlinear Parabolic or Elliptic Equations // Asymptotic Analysis 1997 vol. 14 № 2 pp. 117−156.

19. Багиров, Л. А. Кондратьев, В. А. Об асимптотике решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Математический сборник, 1991 т. 182, 4, стр 508−525.

20. Багиров, Л. А. Кондратьев, В. А. Об асимптотических свойствах решений уравнения диффузии // Труды семинара им. И. Г. Петровского 2002 т. 22 стр 37−70.

21. Арефьев В. Н., Кондратьев В. А. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений. //Дифференциальные уравнения 1993. 29. N 12. 21 042 116.

22. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях. //Мат сб т. 189 3(1998) 45−68.

23. Кондратьев В. А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности. //Дифференциальные уравнения 1998. 34. N 2. 246−255.

24. Кондратьев, В.А. О некоторых нелинейных краевых задачах в цилиндрических областях. // Труды семинара им. И. Г. Петровского 1996 т. 19 стр 235−261.

25. Чистяков В. В. О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка // Труды семинара И. Г. Петровского вып. 15 (1991), 70−107.

26. Gmira, A. and Veron, L. Large Time Behaviour of the Solutions of a Semilinear Parabolic Equation in IR^ // Journal of Differential Equations 1984 vol. 53 pp. 258−276.

27. Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Об асимптотических «собственных функциях» задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения // Математический сборник, 1985, т. 126(168), 4, стр 435−472.

28. Cazenave Th., Dickstein F., Escobedo M., Weissler F.B. Self-Semilar Solutions of a Nonlinear Heat Equation // J. Math. Sci. Tokyo. 8 (2001), 501−540.

29. Filimonova I.V. Asymptotic Behaviour of Positive Solutions of a Semilinear Parabolic Equation // Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 10, No. 2, 2003, 234−237.

30. Филимонова И. В. Асимптотика при t —> оо решений задачи Неймана в цилиндре для полулинейного параболического уравнения. // Вестник МГУ, сер. 1 (Математика, Механика) 2003, 6, стр 50−53.

<"