Аппроксимация локальными L-сплайнами

Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств локальных полиномиальных и £-сплайнов, построенных по значениям аппроксимируемой функции в точках или ее значениям в среднем. Изучаемые в диссертации одномерные неинтерполяционные локальные сплайны, как правило, обладают формосохраняющими и сглаживающими свойствами. В вычислительной математике задача построения по дискретным данным кривых и поверхностей сложной формы с сохранением выделенных геометрических характеристик (таких, как положительность, монотонность, выпуклость, наличие плоских участков и т. д.) называется задачей изогеометрической аппроксимации. В настоящее время такие трехмерные вычислительные схемы (построенные на основе одномерных конструкций) используются для моделирования самолетных поверхностей, корпусов судов, лопастей гидротурбин, при описании различных геологических, физических и биологических явлений, а также при обработке изображений, в картографии, томографии, индустрии фильмов и т. д.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш — М.: Мир, 1972.

2. Волков, Ю. С. Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции: дис.. доктора физ.-мат. наук: 01.01.01 / Волков Юрий Степанович. -Новосибирск, 2006.

3. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. JI. Мирошниченко М.: Наука, 1980.

4. Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б. И. Квасов М.: Физматлит, 2006.

5. Корнейчук, Н. П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта / Н. П. Корнейчук // Укр. матем. журнал. 1982. -Т.34, № 5. — С.617−621.

6. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук М.: Наука, 1984.

7. Костоусов, К. В. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами / К. В. Костоусов, В. Т. Шевалдин // Матем. заметки. -2005. Т. 77, № 3. С. 354−363.

8. Мирошниченко, В. JI. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных кубических сплайнов класса С2 / В. Л. Мирошниченко // Вычислительные системы. 1990. — Вып. 137. Приближение сплайнами. — С. 31−57.

9. Мирошниченко, В. JI. Достаточные условия монотонности и выпуклости для интерполяционных параболических сплайнов /B.Л.Мирошниченко j j Вычислительные системы. 1991. — Вып. 142. Сплайны и их приложения. -С. 3−14.

10. Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике /C. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин М.: Наука, 1976.

11. Субботин, Ю. Н. Порядок наилучшей сплайн-аппроксимации некоторых классов функций / Ю. Н. Субботин, Н. И. Черных // Матем. заметки. -1970. Т. 7, № 1. С. 31−42.

12. Субботин, Ю. Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны / Ю. Н. Субботин // Тр. МИАН СССР. -1975. Т. 109. С. 35−60.

13. Субботин, Ю. Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации / Ю. Н. Субботин // ЖВМ и МФ. -1993, — Т. 33, № 7. С. 996−1003.

14. Субботин, Ю. Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением n-ой производной при больших интервалах усреднения / Ю. Н. Субботин / / Матем. заметки. -1996 -Т. 59, № 1. С. 114−132.

15. Субботин, Ю. Н. Экстремальная в Ьр интерполяция в среднем при пересекающихся интервалах усреднения / Ю. Н. Субботин // Изв. РАН. Сер. матем. -1997, — Т. 61, № 1. С. 177−198.

16. Шарма, И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности / А. Шарма, И. Цимбаларио // Матем. заметки. -1977. Т. 21, № 2. С. 161−173.

17. Шевалдин, В. Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов / В. Т. Шевалдин // Тр. МИАН СССР. -1983. Т. 164. С. 203−240.

18. Шевалдин, В. Т. Экстремальная интерполяция в среднем при перекрывающихся интервалах усреднения и £-сплайны /В. Т. Шевалдин // Изв. РАН. Сер. матем. -1998. Т. 62, № 4. С. 201 224.

19. Шевалдин, В. Т. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами с произвольным расположением узлов / В. Т. Шевалдин // Сиб. журн. вычисл. математики 2005. — Т. 8, № 1. — С. 77−88.

20. Kolmogoroff, А. N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen / A. N. Kolmogoroff // Ann. of Math. 1936. -V.37.-P. 107−110.

21. Kostousov, К. V. Approximation by local exponential splines / К. V. Kostousov, V. T. Shevaldin // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. Supple 10. 2004. — P. 147−157.

22. Piegl, L. The NURBS Book / T. Piegl, W. Tiller. Berlin etc.: Springer- 1997.

23. Popoviciu, T. Sur le reste dans certains formules lineares d’approximation de Г analyse / T. Popoviciu. // Mathematica (Cluj). 1959. — V.l. — P. 95−142.

24. Shevaldin, V. T. Approximation by Local ?-splines Corresponding to a Linear Differential Operator of the Second Order / V. T. ShevaldinProc. of the Steklov Institute of Mathematics. Supple 2. 2006. -P. 189−208.

25. Wronicz, Z. Chebyshevian splines: Dissertationes Mathematical / Z. Wronicz. Warszawa.: Polska Academia Nauk, Institute Mathematyczny, 1990. Список работ автора.

26. Шевалдина, Е. В. Аппроксимация локальными экспоненциальными сплайнами с произвольными узлами / Е. В. Шевалдина // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. — Т. 9,№ 4. — С. 391−402.