Математическое моделирование некоторых задач распространения фемтосекундных лазерных импульсов в нелинейной среде

Лазерные импульсы фемтосекундной длительности находят все большее применение в различных областях науки и техники [1−7]. Их уникальность обусловлена малой длительностью и одновременно высокой интенсивностью, что позволяет реализовать интенсивности световых полей, превышающие интенсивность внутриатомного поля на много порядков. В настоящее время экспериментально получены импульсы с длительностью от субпикосекундного интервала до нескольких фемтосекунд [8−15]. Такие импульсы применяются в оптических системах связи [4], при изучении различных аспектов физики плазмы [5], для управления химическими процессами [16, 17] и во многих других областях науки и техники. В связи с этим оптические импульсы фемтосекундной длительности постоянно изучаются различными авторами [18−25].

При компьютерном моделировании распространения фемтосекундных импульсов в нелинейной среде используется несколько подходов в зависимости от длительности импульса. Так для субпикосекундных импульсов используется нелинейное уравнение Шредингера [1, 2]. Для описания распространения более коротких импульсов применяется комбинированное уравнение Шредингера [4, 25−27], которое отличается от обычного нелинейного уравнения Шредингера присутствием производной от нелинейного отклика среды. В случае же распространения импульсов в несколько фемтосекунд теоретический анализ базируется на системе нелинейных уравнений Максвелла [5, 19, 23, 28]. При этом для многих практически важных задач представляет интерес численное интегрирование линейных уравнений Максвелла [29−38], а также численное интегрирование уравнения переноса [39,40]. При этом построение эффективных численных методов [41−45] по-прежнему является актуальной задачей.

Еще одну большую проблему представляет собой тестирование предложенного для данного класса задач в литературе разностных схем и разработка методов обработки экспериментальных результатов. Для этих целей можно использовать например известные законы отражения от границы раздела двух линейных сред, законы сохранения энергии [47] с целью построения консервативных разностных схем. Обработку и интерпретацию (а в ряде случаев и тестирование) целесообразно осуществлять на основе теории вейвлетов [48], известных формул для зависимости частоты резонанса от амплитуды падающего поля в квазистационарном режиме [49].

Цель работы заключалась в построении в рамках системы уравнений Максвелла математической модели распространения фемтосекундных импульсов, позволяющей учитывать одновременное действие нелинейностей разных порядковв построении консервативных разностных схем для предложенной математической моделив изучении эффектов нелинейного распространения фемтосекундных импульсов. Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

1. Предложена математическая модель, позволяющая в рамках системы уравнений Максвелла одновременно описывать действие нелинейностей разных порядков при распространении высокоинтенсивных фемтосекундных импульсов с интенсивностью ниже интенсивности ионизации.

2. Построены консервативные разностные схемы для задачи нелинейного распространения фемтосекундного импульса в рамках системы уравнений Максвелла в двумерном и одномерном случае.

3. На основе компьютерного моделирования для импульсов фемтосекундной длительности предсказаны эффекты: гистерезисной зависимости наиболее яркой спектральной компоненты от амплитуды падающего импульсазависимости спектра импульса фемтосекундной длительности от его абсолютной фазы на входе в нелинейную средуформирование высокочастотных субимпульсов неизменной формы при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной средезависимость наиболее яркой спектральной компоненты отклика среды от длительности воздействующего импульса. Практическая ценность.

1. Предсказан и исследован эффект зависимости спектра оптического излучения в толще среды от абсолютной фазы фемтосекундного импульса на входе в нелинейную среду. Он может быть использован например для управления химическими реакциями. Данный эффект независимо экспериментально подтвержден, например в [17].

2. Обнаруженный и исследованный эффект гистерезисной зависимости частоты импульса, имеющей наибольшую спектральную яркость от амплитуды входного импульса открывает потенциальную возможность построения на нем сверхбыстрых оптических переключателей, имеющих быстродействие Ю-14 с (и выше).

3. Формирование в среде нескольких субимпульсов на разных частотах позволяет на практике реализовать обсуждаемый в работе [16] способ управления химическими реакциями.

4. Предложенная математическая модель и постановка задачи может найти применение для широкого класса задач распространения фемтосекундных импульсов в различных средах, в частности в фотонных кристаллах.

Структура диссертации.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается содержание работы.

Первая глава диссертации, состоящая из четырех параграфов, посвящена математической постановке задачи распространения фемтосекундного импульса в одномерной нелинейной среде. Здесь построен эффективный численный метод ее решения, использующий в частности преобразование Фурье по пространственной координате.

В первом параграфе первой главы рассматривается математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в немагнитной нелинейной среде. Такая задача, как известно, в общем случае описывается системой уравнений Максвелла совместно с нелинейным уравнением относительно поляризации среды. При этом в рамках одномерной по пространству задачи распространения фемтосекундного импульса рассматриваются различные математические модели для описания состояния среды. Наиболее общую среди них представляет собой модель среды с насыщающимся потенциалом возвращающей силы.

Особое внимание уделяется способу задания начальных и граничных условий для уравнений Максвелла. Показано, что задание начального импульса на границе нелинейной среды приводит к генерации нефизической встречной волны. Для ее устранения начальное распределение предлагается задавать в области до нелинейной среды.

Во втором параграфе первой главы строятся консервативные разностные схемы на основе преобразования Фурье. Несколько построенных методов сравниваются друг с другом и с широко известным в литературе методом, предложенным в работе [38], обобщенным на случай нелинейности, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка. Для построения схем используется интегро-интерполяционный метод. Построенный в работе метод позволяет существенно уменьшить число узлов пространственной сетки и более точно сохраняет инварианты. Так как построенные схемы нелинейны, то для их решения предложено несколько итерационных методов и среди них выбран оптимальный с точки зрения уменьшения числа итераций. В этом же параграфе обсуждаются различные численные методы решения уравнений относительно поляризации.

Для существенного сокращения требуемых ресурсов ЭВМ с помощью уменьшения области расчета в литературе используются неотражающие краевые условия (например PML [33]) В этом же параграфе рассмотрены несколько видов различных неотражающих краевых условий. Однако вопрос о построении условий для случая нелинейного распространения фемтосекундного импульса остается открытым из-за зависимости спектра импульса от многих факторов (абсолютной фазы начального распределения, длительности импульса, нелинейности, наличия гистерезисных зависимостей).

В третьем параграфе первой главы проведено сравнение различных описаний среды, т. е. моделей среды. Показано, что модель насыщающегося потенциала может быть использована для моделирования нелинейных эффектов, вызванных нелинейно-стями различных порядков по амплитуде воздействующего поля. Сравнение проводится с широко используемыми в литературе соответствующими моделями Дуффинга. В частности, продемонстрирована возможность получения эффектов квадратичной и кубичной нелинейностей как одновременно, так и отдельно. Для непосредственного подтверждения как реализации продольного эффекта Керра, так и генерации второй, третьей и т. д. гармоник здесь на основе компьютерного моделирования проведено сравнение спектров отклика среды, рассчитанных как для модели насыщающегося потенциала, так и для модели Дуффинга, учитывающей квадратичные и кубичные эффекты. Показано, что при определенных условиях спектры качественно (отчасти и количественно) совпадают, что позволяет сделать вывод об учете нелинейных эффектов, обусловленных действием различных порядков нелинейного отклика среды, при его описании потенциалом с насыщающейся возвращающей силой.

В четвертом параграфе первой главы сформулированы ее краткие выводы.

Вторая глава посвящена компьютерному моделированию нелинейных эффектов взаимодействия фемтосекундного светового импульса со средой на основе построенной в первой главе разностной схемы.

В первом параграфе второй главы показано, что помимо трансформации спектра отклика среды из-за нелинейности процесса распространения имеет место существенная зависимость спектральной компоненты, обладающей максимальной спектральной яркостью, от длительности импульса, если длительность не превышает некоторой величины. Отмечено, что в этом случае отклик линейной среды может иметь место даже на его собственной частоте, несмотря на существенную отстройку частоты воздействующего импульса от нее. Полученные при компьютерном моделировании результаты качественно подтверждены приведенными в этом параграфе аналитическими оценками.

Во втором параграфе второй главы рассмотрена зависимость отклика нелинейной среды от абсолютной фазы воздействующего импульса. Такой эффект проявляется для сверхкоротких световых импульсов, и как показан в этом параграфе, его проявление зависит от степени возбуждения среды. Так при слабом и умеренном возбуждении среды абсолютная фаза импульса наибольшее влияние на его спектр оказывает вблизи входного сечения среды. В толще же среды импульс «забывает» свою начальную фазу. В случае сильного возбуждения среды имеет место другая тенденция: с ростом трассы распространения импульса зависимость спектрального состава от его абсолютной фазы усиливается. Поэтому, вообще говоря, возможно проявление этой зависимости на определенном участке в толще среды.

В третьем параграфе этой главы продемонстрировано, что при распространении фемтосекундного светового импульса в нелинейной среде могут формироваться субимпульсы на различных частотах. Их количество прежде всего определяется длительностью воздействующего импульса, а также его амплитудой. Механизм формирования субимпульсов заключается в генерации оптических гармоник из-за нелинейного отклика среды. Вследствие дисперсии среды импульсы с различными частотами отделяются друг от друга во времени и могут распространяться практически без изменения своих характеристик (т.е. формируются солитоны) в пределах рассмотренной длины среды. Такой режим распространения был обнаружен например на утроенной частоте воздействующего импульса. Важно также подчеркнуть, что при определенных условиях имеет место реализация несимметричности спектрального частотного распределения субимпульса относительно соответствующего его центра, что свидетельствует о возможности наличия гистерезисных зависимостей частоты отклика среды от амплитуды воздействующего импульса.

В четвертом параграфе данной главы показано, что при нелинейном воздействии фемтосекундного импульса может реализовываться гистерезисная зависимость частоты, обладающей максимальной спектральной интенсивностью, от амплитуды воздействующего импульса. Существенное влияние на появление гистерезисной зависимости оказывает уровень возбуждения среды, нестационарность процесса и отстройка несущей частоты от частоты линейного резонанса. Анализ проводится для сред с кубичной нелинейностью и с насыщающейся возвращающей силой. Показана возможность реализации гистерезисных зависимостей частоты спектральной линии от амплитуды воздействующего фемтосекундного импульса как для одной гармоники, так и для нескольких одновременно генерируемых в среде гармоник. Заметим, что для этого используется анализ «мгновенного» спектрального состояния какого-либо сигнала, который широко используется в теории обработки сигналов. Для этого вдоль сигнала перемещается «окно» с заданным размером и анализируется его спектральный состав в пределах данного окна.

В последнем параграфе этой главы приведены краткие выводы главы II.

Третья глава посвящена построению разностной схемы для задачи взаимодействия фемтосекундного светового импульса с нелинейной средой в двумерном случае.

В ее первом параграфе сформулирована математическая постановка задачи распространения фемтосекундного светового импульса в пространственно двумерной среде с периодическими краевыми условиями. Нелинейность среды описывается в рамках модели насыщающегося потенциала.

Во втором параграфе построена консервативная разностная схема второго порядка для решения записанной в первом параграфе задачи. Так как схема использует для задания различных сеточных функций точки с разных слоев по времени, то для записи начальных условий сеточного решения, исходя из начальных условий для дифференциальной задачи, используется еще одна разностная схема.

Третий параграф этой главы посвящен тестированию построенной схемы, изучению ее свойств с помощью компьютерного моделирования. Необходимость такого тестирования обусловлена громоздкостью разностной схемы. Результаты тестирования продемонстрировали ее высокую точность и консервативность.

В четвертом параграфе данной главы подтвержден описанный во второй главе эффект формирования солитоноподобного предвестника в случае двумерной среды. В пятом параграфе третьей главы сформулированы ее краткие выводы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50] - [61] и докладывались на 5 международных конференциях:

— Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-12» (Великий Новгород, 1999).

— Saratov Fall Meetings (Saratov, 1999).

— Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика 99» (Санкт-Петербург, 1999).

— Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-2000» (Санкт-Петербург, 2000).

— Second Conference «Superstrong fields in Plasmas — 2001» (Italy, Varenna, 2001).

Отдельные результаты работы докладывались на научных семинарах лаборатории математического моделирования в физике и кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. Ломоносова, кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ им. Ломоносова.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., проф. Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постоянную поддержку и ценные рекомендации и коллективу кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова за творческую обстановку.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Предложена математическая модель распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде, описывающая одновременно действие нелинейностей разных порядков по отношению напряженности воздействующего импульса к напряженности внутриатомного электромагнитного поля при отсутствии ионизации вещества.

2. Для предложенной математической модели сформулирована математическая постановка задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейной среде, которая свободна от развития нефизичной встречной волны, и построен консервативный численный метод для решения одномерных и двумерных нелинейных нестационарных уравнений Максвелла.

3. На основе математического моделирования предсказаны эффекты: -зависимость спектра электрической индукции в нелинейной среде от абсолютной фазы светового импульса на входе в среду;

— гистерезисная зависимость частоты с максимальной спектральной яркостью от амплитуды воздействующего импульса;

— формирование солитоноподобных субимпульсов при распространении фемтосекундного импульса в нелинейной среде.