К теории резонанса в системах с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым

Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не допускают ни точного аналитического решения, ни полного качественного исследования. Обусловлено это, в первую очередь, их неинтегрируемостью, связанную, в частности, с наличием резонансов и гомоклинических структур. Поэтому важную роль играет рассмотрение классов нелинейных систем, которые малыми возмущениями отличаются от интегрируемых. Подобные системы играют фундаментальную роль в теории нелинейных колебаний. Среди таких систем наиболее изучены квазилинейные системы. Однако, при рассмотрении прикладных задач квазилинейные системы не отражают адекватно исходный процесс или явление. Поэтому необходимо рассматривать системы, близкие к нелинейным интегрируемым. Теория таких систем еще далека от завершения. Наиболее продвинуто исследование систем, близких к двумерным гамильтоновым. Это системы с одной и полутора степенями свободы.

Если говорить о системах с двумя и большим числом степеней свободы, то здесь имеются лишь частные результаты, касающиеся, например, проблемы существования и устойчивости периодических решений. Для систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, в последние годы получены трехмерные усредненные системы, описывающие поведение решений исходных систем в резонансных зонах. Однако до сих пор отсутствуют примеры таких систем, для которых были бы найдены правые части усредненных систем и проведен их анализ. В связи с этим важнейшую роль играет полное исследование эталонных систем. К таким системам следует отнести системы двух слабосвязанных уравнений Дюффинга и маятниковых уравнений.

Представленные в диссертации результаты касаются анализа системы двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля и, в первую очередь, анализа структуры резонансных зон. Подобная система отражает основные черты систем двух связанных нелинейных осцилляторов. Действительно, при отсутствии связи имеем уравнения Дюфинга-Ван дер Поля, в которых могут существовать предельные циклы и сепаратрисные контуры или петли сепаратрис седла. В невозмущенных уравнениях частоты не являются постоянными, что приводит к наличию бесконечного множества резонансов. Кроме этого, решения уравнений Дюффинга не являются гармоническими, а представляются через эллиптические функции (иначе говоря, представляются в виде специальных тригонометрических рядов). Таким образом, при исследовании системы двух слабосвязанных уравнений Дюффинга-Ван дер Поля имеют место те же проблемы, что и для общих систем двух связанных осцилляторов: существование бесконечного множества резонансов, гомоклинических структур, инвариантных торов.

Отметим, что из общих результатов следует возможность существования двумерного инвариантного тора (в четырехмерном фазовом пространстве исходной системы), который будет асимптотически устойчивым, если оба предельных цикла устойчивые.