См. пояснение

Этот результат имеет фундаментальное значение для качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так как показывает неразрешимость задачи топологической классификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К важным достижениям можно отнести построение А. Н. Колмогоровым теории возмущений гамильтоновых систем, обоснование метода усреднения для многочастотных систем, развитие теории бифуркаций, теории возмущений, теории релаксационных колебаний, дальнейшее глубокое изучение показателей Ляпунова, создание теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Очень трудно назвать какое-либо достижение науки и техники, за «спиной» которого не стояли бы дифференциальные уравнения. В повседневной жизни мы пользуемся благами цивилизации и не задумываемся о том, что все эти достижения стали возможны только лишь благодаря успехам в теории дифференциальных уравнений. Например, сейчас трудно найти человека, который не слышал бы о спутниковом телевидении. Но точки, в которых должны располагаться спутники, были определены благодаря успехам в решении задачи «трех тел», которая является системой трех дифференциальных уравнений второго порядка. В настоящее время повсеместное распространение получили системы спутниковой навигации. Но основные расчетные формулы для создания системы спутниковой навигации также получаются в результате решения системы дифференциальных уравнений. Приведем примеры задач, для решения которых используется аппарат дифференциальных уравнений. Пример 1. Охлаждение тела. Пусть тело, имеющее температуру Т0, в момент времени t0 = 0 помещено в среду с температурой .

Требуется найти закон изменения температуры тела. Известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности его температуры и температуры окружающей среды,, .Нетрудно проверить, что при любом функция удовлетворяет полученному уравнению. ПостояннаяC может быть найдена из начального условия, .Окончательно:.Таким образом, мы получили закон изменения температуры тела. Полученная формула используется при расчете теплоизоляционных свойств многослойных конструкций. Мы видим, что температура тела асимптотически приближается к температуре окружающей среды. Пример2.Свободные колебания. Пусть частица движется вдоль оси Ox под действием квазиупругой силы, направленной к положению равновесия и пропорциональной смещению. Если абсцисса положения равновесия совпадает с началом координат, то проекция силы на ось Ox равна, где k — положительная константа. Найдем зависимость координаты от времени. Из основного закона динамики получим,.(1)Легко убедиться, что любая функция вида,(2)где A и — произвольные постоянные, является решением дифференциального уравнения (1).

ПостояннуюA называют амплитудой, а постоянную — начальной фазой колебаний. Амплитуда и начальная фаза определяются положением и скоростью частицы в начальный момент времени. Постоянная, называется круговой частотой. Зависимость (1) изображена на рис. 1.Рис. 1.

Зависимость координаты от времени при свободных колебаниях.

Следует отметить, что аналогичным уравнением описываются колебания в цепи переменного электрического тока.

3. Математическая модель проточного реактора идеального смешения включает балансы по концентрации компонента Х и температуре ([3]):где — объёмный расход поступающего раствора; H тепловой эффект реакции; V рабочий объём реактора; - теплоёмкость, плотность и температура смеси в реакторе; индекс (0)означает значение параметра на входе в реактор. Таким образом, математическая модель состоит из двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, которые необходимо дополнить начальными условиями (задача Коши):Таким образом, теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями. Трудно назвать даже приблизительную цифру научных публикаций, посвященных дифференциальным уравнениям и их приложениям. Имеется много электронных ресурсов, посвященных дифференциальным уравнениям. Например, Electronic Journal of Differential Equations (EJDE)(.

http://ejde.math.txstate.edu), Software: Differential Equations (.

http://www.scicomp.uni-erlangen.de/archives/SW/diffequ.html), EqWorld-Математическихуравнений (.

http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm) .Задачи физики и других естественных наук снабжают теорию дифференциальных уравнений проблемами, из которых вырастают богатые содержанием теории.

Литература

.

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Ижевск: 2000. 308 с. Андронов А. А., Леонтович Е. В., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. Москва «Наука». Главное издательство физико-математической литературы 1987 г. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. — 2-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2001.

Введение

в математическое моделирование Издательства: Университетская книга, Логос, 2007 г.