Решение задач методом дополнительного построения

6. Окружность при определенных условиях можно описать и около четырехугольника. Если четырехугольник АВСD вписан в окружность, то сумма его противоположных углов — 1800, а углы ABD и ACD, которые опираются на одну и ту же дугу равны (см. рис. 5). Обратное предложение тоже верно.

Точки А, С, В, D лежат на одной окружности, если:

— точки С и В лежат по одну сторону от прямой AD и ABD = ACD, т. е. отрезок AD виден из точек С и В равными углами;

— ABCD — это выпуклый четырехугольник и сумма его противоположных угов равна 1800.

Рис. 5.

Ниже рассмотрим конкретные примеры.

Пример № 5. Через некоторую точку плоскости проведены 3 прямые так, что между ими двумя угол = 600. Необходимо доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки плоскости на данные прямые, служат вершинами равностороннего треугольника.

Решение.

1. Пусть 3 эти прямые пересекаются в точке О, М — это произвольная точка плоскости, С, В и, А — это основания перпендикуляров, которые опущены и точки М на эти прямые (см. рис. 6).

2. Точки С, В, А, М и О лежат на одной окружности с диаметром ОМ.

3. Теперь видно, что АВС = АОС, так как оба они опираются на одну и ту же дугу АС.

4. Таким образом, АВС = 600. Точно также и АСВ = АОВ = 600, т. е. треугольник АВС — равносторонний.

5. Следовательно, основания С, В, А — это вершины равностороннего треугольника.

Рис. 6. Пример № 5.

Пример № 6. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и СС1. Доказать, что треугольник А1ВС1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия, равным cosВ.

Решение.

1. На стороне АС треугольника АВС как на диаметре опишем полуокружность, которая пройдет через основания высот А1 и С1 (см. рис. 6).

2. Так как четырехугольник АС1А1С вписанный, то ВАС = 1800 — С1А1С.

3. Таким образом, ВАС = С1А1 В и ∆ А1ВС1 — ∆ АВС.

4. Так как сторон А1 В и АВ являются соответствующими сторонами в подобных треугольниках, то их соотношение А1В: АВ равно коэффициенту подобия. Но в прямоугольном треугольнике АВА1 А1В: АВ = cosB.

5. Следовательно, ∆ А1ВС1 подобен ∆ АВС и k = cosB.

Рис. 6. Пример № 6.

Пример № 7. Доказать, что в произвольном треугольнике АВС имеет место зависимость, где lB — это биссектриса угла В; а, с и b — это стороны треугольника АВС, с1, а1 — это отрезки, на которые биссектриса lB делит противоположную сторону.

Решение.

1. Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису BD угла В до пересечения с окружностью в точке Е (см. рис. 7).

2. Положим, DЕ = х. По свойству пересекающихся хорд имеем: lB * х = а1с1 (а).

3. Рассмотрим треугольники ЕВС и АВD. ВАD = ВЕС по условию, как углы опирающиеся на одну и ту же дугу.

4. Следовательно, ∆ АВD подобен ∆ ЕВС. Из подобия треугольников имеем (б). Из условий (а) и (б) следует, что .

Рис. 7. Пример № 7.

Заключение

.

В работе были рассмотрены основные методы решения геометрических задач. Было установлено, что для решения одной задачи может использоваться несколько методов ее решения.

В качестве объекта исследования было выбрано исследование метода дополнительных построений в решении геометрических задач.

Были рассмотрены основные типы и принципы метода дополнительного построения, а также приведены конкретные примеры.

Поставленные в начале работы автором задачи исследования были выполнены, цель достигнута.

1. Готман, Э. Г. Две задачи и пять методов решения // Математика в школе. — 1994. — № 1.

2. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии: Учеб. пособие: 3-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2004. — 336 с.

3. Фарков А. В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5−11 классы. Учеб. пособие: — М.: Айрис-пресс, 2006. — 128 с.

4. Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике: решение задач», Москва, «Просвещение», 1989 г.

5. Шикова Л. Р. Исследовательская деятельность школьников в процессе решения геометрических задач//Математика в школе. — 1995. — № 4.