Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 5). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N. Угол С—прямой. Угол, А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А, или, что-то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В, так как ее диаметр является радиусом окружности с. Поэтому точка, А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,.

А = MAN < MBN.

Отсюда в силу равенства MBN + В = d имеем: А +В < d, поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.

Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства: А +В < d применим к любому прямоугольному треугольнику.

Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма острых углов этих прямоугольных треугольников равна сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство: А +В < d, заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.

Рисунок 5._ Евклидов перпендикуляр и дуга евклидовой окружности Теорема 2. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается в виде евклидова перпендикуляра P к прямой в точке М, другая — в виде евклидовой полуокружности q с центром на u, причем P и q не имеют общих точек (рис. 6). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.

Рисунок 6. _ Общий перпендикуляр расходящихся прямых Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m. Ясно, что m —гиперболическая прямая, пересекающая и P и q под прямым углом. Следовательно, m изображает искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.

Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме.

. Теорема 3. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида). Справедливость теоремы очевидна из рис. 7. где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.

Рисунок 7. _ Прямоугольная проекция стороны острого угла.

На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.

Теорема 4. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А’В’С', то эти треугольники равны.

Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А’В', АС = А’С'. Очевидно, треугольники АВС и А’В’С' равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В, точка С не совпадает с С, так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.

Рассмотрим следующие возможности.

а) Точка В лежит между, А и В, точка С — между, А и С (рис. 8 а); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых. Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВССВ равна 4d, что невозможно в силу теоремы.

Рисунок 8. — Условное изображение гиперболических прямых в виде евклидовых (8а — т. С1 между, А и С, 8б — т. С между, А и С1.

б) Точка В лежит между, А и В, точка С — между, А и С (рис. 8 б).

Обозначим через точку D, точку пересечения отрезков ВС и BC. Так как C = C' и C' = С, то C=С, что невозможно, поскольку угол С — внешний относительно треугольника CCD.

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.

Теорема доказана, поскольку сделанное допущение привело к противоречию.

Из теоремы вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного данному треугольнику, но не равного ему. [9].

Таким образом, в геометрии Лобачевского подобных фигур не существует, треугольник вполне определяется своими тремя углами, для определения отрезка не надо задавать другого отрезка, достаточно указать только геометрическое построение, при помощи которого может быть получен определяемый отрезок (например, как сторона равностороннего треугольника с углом, получаемым из прямого угла при помощи того или иного построения), единица длины может быть задана некоторым геометрическим построением.

Следовательно в геометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в вопросах измерения отрезков и углов, чем в евклидовой геометрии.