А. Взаимосвязь основных видов математических структур

Мир идей не открывается нам сразу. Мы должны снова и снова воссоздавать его в нашем сознании.

Ренэ Том

Математика обладает способностью открывать в окружающих нас вещах новые стороны и неожиданным образом расширять наши представления.

П. С. Александров

Существует тесная взаимосвязь трех типов фундаментальных математических структур: алгебраического, порядкового, топологического. Рассмотрим такие связи, главным образом, для конечных объектов.

Пусть X — произвольное топологическое пространство с топологией т, являющейся по определению множеством всех открытых подмножеств пространства X. Относительно отношения включения с топология т представляет собой полную дистрибутивную решетку. Определим на топологическом пространстве X также квазипорядок р:

где [х] — это замыкание вХ одноточечного множества {х}. Бинарное отношение р на X рефлексивно и транзитивно, т. е. является квазипорядком. Имеем [х] = {z е X: zpx} при любом х е X.

Обратно, возьмем квазиупорядоченное множество X относительно квазипорядка р на нем. Подмножество Y в X называется его р-идеалом (р-филътром), если х е X, у е Y и хр у (ур х) влекут х е Y. Множество J всех p-идеалов и множество F всех р-фильтров в X служат топологиями на X, превращающими X в дуальные симметрические пространства. Топологическое пространство мы назвали симметрическим, если всевозможные пересечения его открытых множеств также открыты.

Для полученного симметрического пространства X с топологией J равносильны включения [х] с [у] и х° э у⁰, где через z° обозначается наименьшая открытая окрестность точки z из X.

Напомним, что топологическое пространство X называется Т^-пространством, если для любых двух его различных точек найдется открытое множество в X, содержащее ровно одну из этих точек, что равносильно соотношению:

Теорема 1 (П. С. Александров, 1935 год; см. [6, теоремы 56 и 57]). На любом множестве X существует взаимно однозначное соответствие между симметрическими топологиями и квазипорядками, задаваемое отображениями р и J. При этом симметрическим Т^пространствам (X, т) отвечают упорядоченные множества (X, <).

Рассмотрим далее категорию Т всевозможных симметрических пространств (X, т) с непрерывными отображениями в качестве морфизмов и категорию К всех квазиупорядоченных множеств (X, р) с гомоморфизмами, т. е. отображениями, сохраняющими отношение квазипорядка. Любое отображение /: X —" Y будет морфизмом (непрерывным отображением) в категории Т тогда и только тогда, когда оно будет морфизмом (гомоморфизмом) в категории К для соответствующих объектов X и Y. В силу теоремы 1 имеет место:

Теорема 2. Категории Т и К изоморфны между собой. В частности, изоморфны и их полные подкатегории, объектами которых являются симметрические Т^пространства и упорядоченные множества соответственно.

Пусть теперь (А, +, х, <, 0, 1) — дистрибутивная решетка.

Элемент ае А называется:

неразложимым (в сумму), если а Ф 0 и для любых Ь, се А равенство а = Ъ + с влечет Ъ = а или с = а;

простъш (неразложимым в произведение), если а Ф 1 и из а — Ъс следует, что Ъ = а или с = а при любых Ъ, с е А.

В случае решетки L (X) всех замкнутых множеств топологического пространства X неразложимыми элементами будут замыкания [х] точек х из X. Если для Т₀-пространства X верно обратное, то X называется трезвым пространством. Поэтому по решетке L (X) замкнутых множеств трезвого пространства X легко восстанавливается само пространство X. Заметим, что все конечные Т₀-пространства трезвые.

Лемма 1. Трезвые пространства X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их решетки L (X) и L (Y) замкнутых (открытых) множеств.

Покажем, как по конечной дистрибутивной решетке А с 1 ^ 0 найти такое упорядоченное множество X, чтобы решетка J всех порядковых идеалов (<-идеалов) в X была изоморфна А. В качестве X возьмем множество всех неразложимых элементов решетки А. Оно не пусто, поскольку содержит атомы решетки А. Будем рассматривать X как упорядоченное подмножество в Л с индуцированным порядком. Тогда легко усмотреть справедливость следующего утверждения:

Лемма 2. Для любого, а е, А эквивалентны условия:

• 1 )аеХ;
• 2) порядковый идеал {х е X: х < а} вХ главный;
• 3) фильтр В = [а) = {b е А: b > а} решетки, А простой.

Заметим, что система J — J (X) всех порядковых идеалов произвольного упорядоченного множества X является множеством всех замкнутых множеств соответствующего Г₀-пространстваХ Теперь можно установить изоморфность решеток, А и J (см. [5, с. 161— 162] или [2, § 12]), т. е. доказать знаменитую теорему Биркгофа.

Теорема 3 (Г. Биркгоф, 1933 год). Любая конечная дистрибутивная решетка, А изоморфна решетке J всех порядковых идеалов некоторого конечного упорядоченного множества X, определенного однозначно с точностью до порядкового изоморфизма.

Доказательство. Можно считать конечную дистрибутивную решетку, А неодноэлементной. Пусть, как и выше, X — упорядоченное множество (относительно порядка в А) всех неразложимых элементов этой решетки, a J — дистрибутивная решетка всевозможных порядковых идеалов в X. Построим между решетками, А и J (X) изоморфизм, положив.

Для доказательства изоморфности отображения / проверим его биективность.

Сначала докажем инъективность/, взяв в, А произвольные неравные друг другу элементы а, Ъ. Можно предположить, что а не меньше Ь, и рассмотреть фильтр В = [а). По предложению 5 Приложения V фильтр В лежит в некотором простом фильтре С = [с), не содержащем элемент Ь. Такой элемент с е X по лемме 2. Значит, с е /(а)/(Ь) в силу определения/.

Докажем сюръективность/. Для этого возьмем произвольный порядковый идеал I е J (X) и найдем для него такой элемент а е А, чтобы I = /(а). Если I = 0, то I = /(0). В противном случае полагаем.

Ясно, что / с /(а). Обратно, пусть х е /(а). Тогда в силу дистрибутивности.

Откуда х = хх_к для подходящего индекса к = 1, 2, …, п на основании неразложимости элемента х. Поэтому х < х_к. А так как / — порядковый идеал, то х е I. Значит, и/(а) с I. И биективность/доказана.

Ясно, что, а < Ъ влечет/(а) </(Ь) при любых а, b е А. Обратно, пусть Да) </(Ь). Тогда, по только что доказанному, а =^f (a) < 2ДЬ) = Ь. Поэтому биекция/осуществляет искомый изоморфизм решеток Л = J (X).

Единственность (с точностью до порядкового изоморфизма) упорядоченного множествах, для которого А = JQO, вытекает из леммы 1. Теорема доказана.

Для данной конечной дистрибутивной решетки А с 1 ^ 0 построим соответствующее упорядоченное множество X несколько иным способом. Пусть Spec А — упорядоченное по включению множество всех простых идеалов решетки А. Следующее утверждение почти очевидно.

Лемма 3. В решетке, А соответствие между множеством всех простых (множеством всех неразложимых) элементов, а и множеством Spec, А простых идеалов (а] (всех простых фильтров [а)) взаимно однозначно.

Теорема 4. Упорядоченные множества (с индуцированным порядком) всех неразложимых элементов и всех простых элементов любой неодноэлементной конечной дистрибутивной решетки, А порядково изоморфны.

Доказательство. В любой решетке переход к дополнению осуществляет биекцию между множествами ее простых идеалов и простых фильтров. В конечной решетке все идеалы и фильтры главные. Поэтому в силу леммы 3 между множеством X всех неразложимых элементов решетки А и множеством Y всех ее простых элементов существует естественное взаимно однозначное соответствие:

Это соответствие является изоморфизмом упорядоченных множеств X и Y. В самом деле, соотношение Xj < х₂ в X равносильно включению простых фильтров [хД з [х₂), которое равносильно включению простых идеалов (yj = АМхД с А[х₂) = (у₂] для их набольших элементов Ух, У₂ ^{е а эт0}> ^в свою очередь, означает, чтоу! < у₂. Теорема доказана.

Из теорем 3 и 4 вытекает:

Теорема 5. Всякая конечная дистрибутивная решетка, А изоморфна решетке J (Spec А) всех порядковых идеалов упорядоченного множества простых идеалов в А.

Наконец, пусть дан гомоморфизм/: X —" Y квазиупорядоченных множеств. Рассмотрим решетки J (X) и J (Y) всех p-идеалов для X и Y. Тогда отображение^¹: J (Y) —> JQO,^¹ (10 e J (X) для каждого р-идеала U квазиупорядоченного множества Yявляется решеточным гомоморфизмом, сохраняющим все точные грани.

Укажем обратное соответствие для конечных дистрибутивных решеток Л и В. Возьмем произвольный решеточный гомоморфизм а: В —> А, сохраняющий 0 и 1. По теореме 5 фактически мы имеем решеточный гомоморфизм a: J (Spec В) —" J (Spec А). Для каждого Р е Spec А полагаем:

/(Р) есть наибольший элемент в a^_1({Q е Spec A: Q не содержит Р}).

Получаем изотонное отображение /: Spec, А —> Spec В, порождающее исходный гомоморфизм: а = f~^l.

Заметим также, что множество Spec, А с топологией J (Spec А) называется стоуновским пространством произвольной дистрибутивной решетки А, по которому восстанавливается сама решетка А, если она конечна. С точностью до гомеоморфизма стоуновские пространства конечных дистрибутивных решеток — это в точности конечные Гд-пространства.

Суммируя сказанное о конечных структурах, получаем желаемый результат о взаимосвязи трех основных видов математических структур. См. также [1, 2, 4].

Теорема 6. Следующие категории попарно эквивалентны или антиэквивалентны:

• (1) категория конечных дистрибутивных решеток и их гомоморфизмов, сохраняющих 0 и 1;
• (2) категория конечных упорядоченных множеств с изотопными отображениями;
• (3) категория конечных Т₀-пространств с непрерывными отображениями.

Проследим указанные взаимосвязи на конкретном примере.