Теоретический обзор. 
Температурное поле

Передача энергии от тонкого поверхностного слоя к объему материала осуществляется с помощью различных механизмов теплопроводности (электронной, фононной, лучистой).

Определяющее значение при этом имеет температура поверхности.

Так, при низких температурах существенную роль играет фононная теплопроводность. Однако при высоких значениях температуры фононная теплопроводность мала по сравнению с электронной. В наиболее распространенном в практике лазерной обработки температурном диапазоне от сотен до нескольких тысяч градусов основной механизм передачи энергии от поверхности в глубь материала — электронная теплопроводность. Лучистой теплопроводностью обычно пренебрегают, так как она характерна для температур поверхностного слоя более 10⁴C.

Передача энергии от поверхностных слоев в глубь полупроводника осуществляется различными механизмами теплопроводности. В начальный период преобладает фононная теплопроводность, так как концентрация свободных фотоэлектронов мала. Но с увеличением концентрации свободных фотоэлектронов все более существенной становится электронная теплопроводность.

Оценку процессов теплообмена в твердом теле при облучении его лазерным лучом можно провести теоретически или экспериментально.

В теоретических расчетах тепловых процессов обычно рассматривают три типа распределения удельного теплового потока — точечное, гауссово и равномерное по пятну нагреву.

При импульсной обработке в большинстве случаев предполагается гауссово распределение удельного теплового потока.

При расчете температурных полей в материалах после воздействия КПЭ необходимо учитывать ряд особенностей.

Во-первых, нужно знать закон распределения плотности теплообразующих потоков. На практике при анализе тепловых процессов обычно известны количество теплоты Q или средняя мощность тепловыделения W за время t и требуется при заданном законе распределения определить наибольшую плотность q₀. В таблице 1 приведены законы распределения плотности тепловых потоков. Их графическая интерпретация показана на рис.1. Для простоты изображения эти законы для одномерных источников, поскольку из одномерных всегда можно сконструировать двухили трехмерные законы. В таблице коэффициент k₀ имеет размерность м^-2 и называется коэффициентом сосредоточенности теплового потока.

Таблица 1

Чтоб определить, является ли данный источник быстродвижущимся, следует рассчитать безразмерный критерий Пекле:

где l — длина источника в направлении перемещения, м; v — скорость перемещения источника, м/с; - коэффициент температуропроводности материала, по которому перемещается источник, м²/с.

Если окажется, что Ре 10, то источник можно отнести к быстродвижущимся. Поскольку скорость перемещения быстродвижущегося источника превышает скорость распространения теплоты, то теплота впереди него не распространяется, а только под источником и позади него.

В-третьих, по длительности функционирования источника разделяют на мгновенные (F_o0), действующие в течение конечного промежутка времени (F_o0) и действующие столь длительное время, что процесс теплообмена под влиянием источника можно полагать установившимся (F_o). Безразмерный комплекс F_o носит название критерия Фурье или безразмерного времени.

где t — время, в течение которого действует источник.

В зависимости от этих параметров выбирают формулу для расчета температурного поля в материале при воздействии КПЭ (таблица 2).

В данной таблице в некоторых формулах применяется функция erf [u] - называемая интегралом вероятностей. С точностью, достаточной для инженерных расчетов она может быть аппроксимирована выражением.

Функция Эйлера Ei [-u], которую можно рассчитывать по формуле.

Линейные размеры, м: x, y, z — координаты точки тела; x_и, y_и, z_и — координаты источника;;; b, l — размеры источника, для нормально распределенных источников , — коэффициент теплопроводности, Вт/(м ⁰С), — время, с.

Непрерывное действие источника имитируем серией мгновенных тепловых импульсов, следующих друг за другом.

Для того чтобы получить формулу, описывающую процесс распространения теплоты движущегося источника, необходимо выполнить третий интегральный переход.

Таблица 2

Условие задачи.	Рассчетные формулы.
Точечный мгновенный источник в неограниченном теле, внесший Q теплоты, Дж.
Точечный непрерывно действующий источник мощностью q,Вт, в неограниченном теле.
Точечный быстродвижущийся источник мощностью q, Вт, в неограниченном теле.	В системе координат, движущейся с источником (в направлении оси ОХ противоположно направлению v, х>хu).
Одномерный мгновенный источник в неограниченном теле, внесший теплоты Q1, Дж, на единицу длины источника.
Одномерный источник плотностью q1, Вт/м2, действующий непрерывно в неограниченном теле.
Одномерный быстродвижущийся источник плотностью q1, Вт/м2, в неограниченном теле или в пластине с адиабатическими граничными плоскостями (источник расположен перпендикулярно к плоскостям пластины).	В подвижной системе координат, движущейся вместе с источником (х > хu).
Двумерный (полосовой) мгновенный источник, плотностью Q, Дж/м2, на адиабатической поверхности полупространства. (yu=0; 0? xu??).	. где? — размер источника в направлении оси ОХ.
Двумерный (полосовой) быстродвижущийся источник плотностью q, Вт/м2, на адиабатической поверхности полупространства (yu = 0; 0? xu? ?).	В пределах контактной площади (x? ?; y = 0). ;
Двумерный источник плотностью q, Вт/м2, на торце стержня с адиабатическими поверхностями или на адиабатической поверхности полупространства (yu = 0).
Двумерный источник, расположенный перпендикулярно к оси неограниченного стержня на расстоянии yu от начала координат.	При наличии теплообмена с окружающей средой и при установившемся процессе (ф > ?). . где ; F и p — площадь и периметр сечения стержня; б — коэффициент теплоотдачи.

Для того чтобы получить формулу, описывающую процесс распространения теплоты движущегося источника, необходимо выполнить третий интегральный переход.

По сути он является разновидностью второго, осуществляемого по формуле (2). Следует лишь учесть, что расстояние R для движущегося источника является переменной величиной, поскольку координаты источника непрерывно меняются во времени. Например, если источник движется вдоль оси Х со скоростью, то.

Все импульсы, которыми мы имитируем движение источника, дадут в точке М (х, у) общее повышение температуры.

(1).

Интеграл в этом выражении приводится к изученным функциям только при. В этом случае, пологая W= и u =, представляем формулу (1) в виде.

(2).

поскольку.

где К₀ [u] - модифицированная функция Бесселя от мнимого аргумента второго рода нулевого порядка. С погрешностью, не выходящей за пределы 5%, можно полагать, что.

К₀[u]. (3).

Быстродвижущиеся источники.

Пусть одномерный источник J₁ с равномерно распределенной плотностью тепловыделения q₁ движется с высокой скоростью в направлении, показанном стрелкой. Система координат ХYZ движется вместе с источником. Выделим из неограниченного тела элемент в виде стержня шириной b и толщиной dx. Вследствие высокой скорости движения время «проскакивания» источника через этот элемент dt = dx/ столь мало, что на участке bdx температуру можно считать одинаковой во всех точках, а сам источник в этом элементе полагать двумерным мгновенным. Для такой задачи мы уже получили формулу. Чтобы применить ее к данному случаю, отметим, что у_u=0, а время, прошедшее с того момента, когда источник «проскочил» элемент dx, до момента наблюдения,. Что касается тепловыделения Q₂ двумерного источника, то оно связано с плотностью q₁ тепловыделения одномерного источника уравнением теплового баланса для площадки b dx, а именно bq₁ dt = bQ₂ dx, откуда.

Q₂ = q₁(dx/dt)^-1=q₁/v. Подставляя значения y_и, t и Q₂ в формулу, получаем для быстродвижущегося одномерного источника.

Непрерывно действующии источник теплоты — это серия мгновенных тепловых импульсов, следующих друг за другом.

Порция теплоты, внесенная в момент времени t_i, распространяясь по твердому телу в течение времени ф — t_i, вызывает повышением температуры d = qF (R, ф — t_i)dt_i, где q — количество теплоты, выделяемой источником в единицу времени, Вт.

Все мгновенные точечные источники, следовавшие друг за другом с интервалом времени dt_i, вызовут в точке М (х, у, z) к моменту наблюдения ф повышение температуры.

(4).

Подставляя в формулу (4) значение функции F (R, t) запишем.

Положив р² = R²/4u = 1, получаем.

(5).

Формула (5) представляет собой решение тепловой задачи. Если процесс нагревания тела непрерывно действующим точечным источником теплоты установился то:

(6).

Выражения (5) и (6) позволяют составлять формулы для расчета температурных полей в неограниченном теле, возникающих под действием одно-, двухи трехмерных источников с различными законами теплообразования.