Магнитное поле и постоянный ток

В тех случаях, когда в рассматриваемой области имеется ток или область охватывает ток (рис. 12), магнитостатический потенциал становится неоднозначной функцией. Разность его значений между точками и зависит от контура, по которому выполняется интегрирование в формуле (10), а именно при каждом обходе контура вокруг тока в положительном направлении (так, чтобы контур образовывал с направлением, в котором течет ток, правовинтовую систему) значение интеграла в (10) возрастает на величину .

Таким образом, магнитостатический потенциал не позволяет установить связь между стационарным магнитным полем и создающим его постоянным током. Для определения стационарного поля обычно вводят векторный потенциал, связанный с векторами и соотношениями.

(11).

Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет уравнению.

(12).

при.

Если токи сосредоточены в ограниченной области, то решение уравнения:

(13).

где - расстояние от элемента до точки, в которой вычисляется потенциал.

Если токи распределены по поверхности с плотностью, равенство (13) следует заменить выражением.

(14).

а в случае линейного тока, протекающего по контуру , — формулой.

(15).

В (14) и (15) - расстояние от элементов и соответственно до точки, в которой вычисляется потенциал.

Перейдем от векторного потенциала к напряженности магнитного поля. Предполагая, что пространство заполнено однородной изотропной средой, получаем.

(16).

Учитывая, что плотность тока не зависит от координат точки, в которой вычисляется поле, и используя тождество, преобразуем подынтегральное выражение в (16):

(17).

где Ro — орт вектора, проведенного из в точку наблюдения.

Подставляя (17) в (16), получаем.

(18).

К аналогичным выражениям для вектора в случае поверхностных и линейных токов:

(19).

(20).

Представляют собой интегральные формы закона Био-Савара:

(21).

Закон Био-Савара характеризует магнитное поле, создаваемое элементом тока . Покажем, что поля также можно представить в виде суперпозиции элементарных полей, от отдельных элементарных токов. И получим выражение.

Найдем магнитное поле и векторный потенциал прямолинейной бесконечно-протяженной уединенной нити, обтекаемой постоянным током. Получаем напряженность магнитного поля нити.

(22).

Векторный потенциал рассматриваемой нити должен иметь только — ю составляющую, величина которой зависит от координаты. Учитывая (11) и расписывая в цилиндрической системе координат, получаем, откуда следует, что.

(23).

Интегрируя выражение (23) по, находим.

(24).

Постоянную в формуле (24) обычнополагают равной нулю. Тогда.

(25).

От формулы (25) нетрудно перейти к выражению для потенциала, создаваемого токами, неизменными вдоль оси, которые протекают по цилиндру произвольного сечения.

где — расстояние от элемента, характеризуемого координатами до точки наблюдения .

Если поле создано поверхностными токами, распределенными по некоторой цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси, а плотность поверхностных токов не зависит от координаты, то векторный потенциал выражается формулой.

(27).

гделиния пересечения поверхности с плоскостью, перпендикулярной к оси, a -расстояние от элемента до точки , в которой вычисляется потенциал.