Модель Курно для двух фирм

Вернемся к нашей дуополии. Но теперь фирмы выбирают не цены, а объемы продаж (или свои мощности).

Рассмотрим, каким образом достигается равновесие Курно на примере линейной функции спроса вида: P (Q) = a-q_i-q₂ (где а — параметр спроса, q_v q₂ — объемы выпуска фирм 1 и 2). Пусть предельные издержки фирм одинаковы, постоянны и равны: с (а > с > 0).

Функции прибыли каждой фирмы будут выглядеть следующим образом:

Так как величина прибыли каждой фирмы может быть различной — в зависимости от объемов выпуска данной фирмы и ее конкурента, эти функции определяют изопрофитные линии дуополистов. Изопрофитные линии — это линии одинаковой прибыльности, но разных объемов продаж. Они представляют собой параболы с ветвями, идущими вниз по отношению к оси, на которой мы откладываем выпуск соответствующей фирмы (рис. 15.5).

Рис. 15.5. Изопрофитные линии в модели Курно.

Условия первого порядка для данных функций прибыли находятся следующим образом:

или.

Откуда можно вывести функции реакции для каждой фирмы:

_ а-с-д₂ —_для ф_Ир_МЫ i (пунктирная линия на рис. 15.5);

¹ 2.

q₂ =——^С ^ —для фирмы 2 (сплошная линия на рис. 15.5).

Эти уравнения описывают все комбинации (q_p q₂), которые приносят максимальную прибыль каждой фирмы.

Заметим, если одна из фирм ничего не выпускает, то вторая фирма обслуживает весь рынок и назначает монопольную цену. Например, если.

q₂ = 0, то максимальная прибыль фирмы 1 достигается в точке q, =.

Это — вершина параболы соответствующей изопрофитной линии.

Решение уравнений дает равновесие Курно, представленное на графике точкой Е. Равновесие Курно достигается там, где пересекаются функции реакции. В этой же точке пересекаются соответствующие изопрофитные линии.

Поскольку фирмы идентичны, в равновесии они будут производить одинаковое количество товара: q, ₂ = ——. Общий объем предложения отрасли составит: Q = q, +q₂ Этот объем будет продан по рыночной цене:

Р = ^а+^^С • Каждая фирма получит прибыль в размере: л' = -^а . Эта прибыль положительна. Следовательно, жесткость ценовой конкуренции здесь смягчается путем конкуренции объемов продаж.

Что произойдет, например, в точке, расположенной выше точки равновесия? В этой точке фирма 1 произведет большее количество товара, чем от нее ожидает фирма 2. В результате фирма 2 будет вынуждена сократить свой объем выпуска в следующем периоде. В то же время фирма 1 в расчете на большое количество товара фирмы 2 тоже сократит свой выпуск. Когда и эти ожидания не оправдаются, фирмы будут корректировать объемы производства до тех пор, пока не будет достигнута точка равновесия, где их ожидания будут оправдываться.

Задача, иллюстрирующая концепцию

В дуополии Курно предельные затраты фирм равны.

рыночный спрос описывается обратной функцией: Р°(Q) = 100 -3Q.

• 1. Найти функции реагирования каждой фирмы на выбор конкурента.
• 2. Найти объемы выпуска каждой фирмы, рыночный объем сделок и цену в состоянии равновесия.

3. Задавшись произвольными начальными объемами выпуска фирм, рассчитать динамику объемов и цен. Принять, что каждая фирма в пределах одного периода не меняет своего решения, а в последующем периоде обе фирмы принимают новые решения исходя из своих функций реакции.

Решение

1. Прибыли фирм могут быть записаны следующим образом:

Условие максимума прибыли каждой из фирм при заданном выпуске конкурента составит.

Решая первое уравнение относительно q_r второе — относительно q₂, найдем функции реакции фирм.

2. Из системы находим.

далее вычисляем параметры рынка

3.

Обозначим через q^t), q₂(t) объемы выпуска фирм в t-м периоде.

Поскольку каждая из фирм ориентируется на известный ей выпуск конкурента в предшествующем периоде, то.

Пусть, например, начальные объемы выпуска равны q,(0) = 5; q₂(0) = 20.

В приведенной выше таблице представлены результаты расчета для пяти периодов.

Следуя рассуждениям Курно, процесс движения рынка к равновесию часто описывают как последовательность поочередного принятия решений фирмами: вначале фирма 1 является монополистом, затем появляется фирма 2 и принимает решение исходя из заданного объема предложения фирмы 1; после этого фирма 1 корректирует свое решение, а после нее — фирма 2 и т. д. В данной задаче обе фирмы принимают решения одновременно по истечении периода, необходимого для оценки выпуска конкурента и изменения собственного выпуска.