Построение графика временного ряда

Задание

Имеются поквартальные значения (t — условный номер квартала) экономического показателя — объема реализованной продукции — Y, млрд. руб.

t.
Y.	4,0.	1,4.	8,6.	0,4.	9,0.	7,1.	12,9.	5,7.	13,7.	12,4.	19,0.	10,4.	19,1.	17,4.	23,4.	16,4.

Требуется:

• 1) Построить график временного ряда.
• 2) Получить аддитивную и мультипликативную модели ряда:
  • — оценить сезонную компоненту (,);
  • — оценить параметры линейного тренда у = a + bt, исключив из исходных уровней ряда сезонную компоненту.
• 3) Оценить качество построенных моделей.
• 4) Сделать прогноз по полученным моделям на 17 и 18 кварталы. Сравнить прогнозы.

Решение:

1) Построим график временного ряда.

Занесем данные t и в рабочий лист Excel и построим поле корреляции (рис. 1.1).

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции. Составим вспомогательную таблицу 1.1.

Таблица 1.1.

Аналогично составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка (табл. 1.2).

Таблица 1.2.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, и все полученные данные занесем в табл. 1.3, на основании которой построим коррелограмму (рис. 1.2).

Таблица 1.3

Лаг.
	0,5034.
	0,8509.
	0,3899.
	0,9941.
	0,2700.
	0,7732.
	0,0431.
	0,9952.
	— 0,2095.
	0,6521.
	— 0,4100.
	0,9975.
	— 0,8524.
	1,0000.

Анализ коррелограммы (рис. 1.2) и графика (рис. 1.1) исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний с периодичностью в четыре квартала.

• 2) Рассчитаем компоненты:
  • а) аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого заполним табл. 1.4.

Таблица 1.4.

Просуммируем уровни ряда последовательно за четыре квартала со сдвигом на один момент времени. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Приведем полученные значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние из двух последовательных скользящих средних — централизованные скользящие средние.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и централизованными скользящими средними.

Составим табл. 1.5, разделив значения столбца F табл. 1.4 по кварталам и годам. Найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты.

Вычислим корректирующий коэффициент k и рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты = - k и занесем полученные данные в табл. 1.5.

Таблица 1.5

которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т аддитивной модели аналитическим выравниванием (Т + Е) с помощью линейного тренда (рис. 1.3).

В результате аналитического выравнивания линейный тренд имеет вид:

Т = 0,3256 + 1,2918t. Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (табл. 1.6).

аддитивный мультипликативный тренд автокорреляция Таблица 1.6.

Е = - (Т + S).

На одном графике (рис. 1.4) построим фактические значения уровней временного ряда () и теоретические (Т + S), полученные по аддитивной модели.

б) мультипликативной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого заполним табл. 1.7.

Таблица 1.7.

Просуммируем уровни ряда последовательно за четыре квартала со сдвигом на один момент времени. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Приведем полученные значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние из двух последовательных скользящих средних — централизованные скользящие средние.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на централизованные скользящие средние.

Составим табл. 1.8, разделив значения столбца F табл. 1.7 по кварталам и годам. Найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты.

Вычислим корректирующий коэффициент k и рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты = •k и занесем полученные данные в табл. 1.8.

Таблица 1.8.

Получим величины Т•Е = Y/S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т мультипликативной модели аналитическим выравниванием (Т•Е) с помощью линейного тренда (рис. 1.5).

В результате аналитического выравнивания линейный тренд имеет вид:

Т = - 1,9507 + 1,7292t. Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (табл. 1.9).

Таблица 1.9.

Е = /(Т•S).

На одном графике (рис. 1.6) построим фактические значения уровней временного ряда () и теоретические (Т•S), полученные по мультипликативной модели.

• 3) Оценим качество построенных моделей.
• а) Для оценки качества аддитивной модели вычислим:

Следовательно, аддитивная модель объясняет 99,7% общей вариации уровней временного ряда объема реализованной компанией продукции за 4 года.

б) Для оценки качества мультипликативной модели вычислим:

Следовательно, мультипликативная модель объясняет 48,1% общей вариации уровней временного ряда объема реализованной компанией продукции за 4 года.

• 4) Сделаем прогноз по полученным моделям на 17 и 18 кварталы.
• а) для аддитивной модели.

= 0,3256 + 1,2918•17 = 22,2862.

= 0,3256 + 1,2918•18 = 23,5780.

= + = 22,2862 + 1,9802 = 24,2664 млрд руб.

= + = 23,5780 — 0,9365 = 22,6415 млрд руб.

Таким образом, при сохранении существующей закономерности на 17-й и 18-й квартал следует ожидать объем реализованной компанией продукции 24,2664 и 22,6415 млрд руб. соответственно.

б) для мультипликативной модели.

= - 1,9507 + 1,7292•17 = 27,4457.

= - 1,9507 + 1,7292•18 = 29,1749.

= •= 27,4457•1,1617 = 31,8837 млрд руб.

= •= 29,1749•0,8958 = 26,1349 млрд руб.

Таким образом, при сохранении существующей закономерности на 17-й и 18-й квартал следует ожидать объем реализованной компанией продукции 31,8837 и 26,1349 млрд руб. соответственно.

Аддитивная и мультипликативная модели дают различные результаты по прогнозу. Более точным является прогноз, полученный по аддитивной модели, т.к. эта модель имеет лучшее качество (большее значение).

• 1. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие/И.И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 192с.: ил.
• 2. Эконометрика: Учебник /Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 344с.: ил.