Основные понятия математической статистики

Генеральная совокупность и выборка. Точечные статистические оценки

Совокупность всех возможных значений случайной величины называется генеральной совокупностью. Статистически представленный ряд наблюдений из генеральной совокупности называется выборкой. Размер вы-^[1]

борки меньше размера генеральной совокупности. Выборка называется репрезентативной, если ее характеристики обладают свойствами генеральной совокупности. Универсальных методов построения репрезентативной выборки нет, и их выбор зависит как от целей исследования, так и от самой генеральной совокупности.

Основная задача математической статистики — оценивание характеристик генеральной совокупности по выборке. Обо всей генеральной совокупности мы, как правило, не имеем информации, поэтому можем строить лишь предположения (гипотезы) о ее параметрах. Для проверки своих гипотез мы используем независимую случайную выборку из генеральной совокупности и строим на основании выборки выборочные оценки неизвестных теоретических параметров.

Различают точечные и интервальные оценки.

Определение 2.36. Точечной оценкой (статистикой) параметра 6 называется любая числовая функция от выборки ё (Х_р …, Х_п).

Точечные оценки считаются «хорошими», если они обладают определенными свойствами.

1. Несмещенность. Если оценка является несмещенной, то математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемым теоретическим параметром:

2. Состоятельность. Состоятельность оценок означает, что для больших выборок вероятность значимых отклонений величины оценки от значения оцениваемого теоретического параметра стремится к нулю. Формальное определение состоятельности оценки: plim6(X,…, Х_п) —? 0, где plim — пре;

П~* оо дел по вероятности.

3. Эффективность. Считается, что чем меньше среднеквадратичная ошибка (mean squared error, MSE) оценки, тем она эффективнее:

где Bias (§) = Еф) — 0.

Для несмещенных оценок можно использовать дисперсию при сравнении эффективности.

Существуют разные типы эффективных оценок. Обычно говорят о самой эффективной оценке в определенном классе оценок, например в классе линейных оценок. Также можно сравнивать две оценки по эффективности.

Предположим, что X_v …, Х_п — выборка из генеральной совокупности, Е (Х_;) = р, var (X_f) = a², i = 1,…, гг, где р и, а — неизвестные параметры генеральной совокупности. Несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии равны соответственно.

• 1 Линейными оценками являются оценки, зависящие линейно от параметров (в данном случае от случайных величин X_v Х₂,…, Х_п). Например, линейной оценкой математического ожидания является среднее.
• 1

Однако нередко используют смещенную оценку дисперсии.

так как смещение оценки невелико, а работать с такой оценкой проще.

Для двух выборок X,Х_п и У,Y_n несмещенная оценка ковариации случайных величин X и Y имеет вид

и это называется выборочной ковариацией случайных величин X и Y. Опять же часто используют смещенную оценку ковариации.

Стоит отметить, что любые оценки параметров являются случайными величинами, в то время как истинные значения параметров — константы.

• [1] Доказательство этого утверждения может быть найдено в работе [12, приложение МС 4].