Основные виды теорем и их структура

Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называют теоремой. Когда в геометрии формируется свойство какой-нибудь фигуры, то тем самым формируется теорема. Итак, теорема — это высказывание о том, что из свойства, А следует свойство В (А=>В).

Рассмотрим некоторые виды теорем. Пусть дана теорема А=>В. Образуем из нее высказывания вида В=>А, А=>В.

Теоремы А=>В и В=>А называются обратными друг другу, теоремы А=>В иА=>-В — противоположными друг другу. ТеоремуВ=>-А называют обратной противоположной.

Пример 2.

Пусть дана теорема: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Обратная данной: «Если углы при основании треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный».

Противоположная теорема данной «Если треугольник не равнобедренный, то углы при основании не равны».

Обратная противоположной «Если в треугольнике углы при основании не равны, то этот треугольник не равнобедренный «.

В теореме различают условие и заключение. Во многих современных учебниках написано: «Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать». Также про заключение написано, что оно выражает факт, который в силу условия неизбежно имеет место. Ученый Адамар возвращался к этой мысли. Он считал необходимым подчеркнуть ее: «Чтобы провести это рассуждение надо, основываясь на условие теоремы и предполагая, что это условие выполнено, вывести из него факты, указанны в заключении».

В теореме о равенстве треугольников утверждается, что если треугольники имеют по три равные стороны, то они обязательно равны. Авторы учебников понимают, что условие теоремы является необходимой предпосылкой заключения. Но ученикам это остается неизвестным, многим в начале изучения геометрии, а некоторым и в дальнейшем.

Пример 3. 18].

Теорему «Равные треугольники» можно записать в другой форме «Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны». Для чего теорему записывают таким образом? Чтобы сразу было видно, что дано (на что нужно опираться при доказательстве), и что надо доказать.

Яснее становится постановка задачи и, следовательно, легче найти доказательство.

Но, следует помнить, что утверждения бывают истинные и ложные. Что нужно сделать, чтобы опровергнуть неверное суждение? Чтобы опровергнуть неверное утверждение, достаточно привести один противоречащий пример (контрпример) — пример, удовлетворяющий условию этого утверждения, но не удовлетворяющий его заключению. Рассмотрение контрпримеров помогает ученику понять необходимость каждого условия теоремы, облегчает запоминание. Построение контрпримеров позволяет отсекать неверные гипотезы при решении задач, помогает, когда уточняется формулировка теоремы и при поиске ее доказательства. Чтобы класс освоил построение контрпримеров, нужно на одном из уроков рассмотреть несколько контрпримеров и дать подобные задачи на дом. Затем, время от времени, после доказательства теоремы, опустив какое-то условие, предложить классу доказать, что полученное утверждение неверно.

Пример 4. [18].

Если две стороны и угол одно треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника такие треугольники равны. (верно ли это утверждение?) Ответ: Нет.

Контрпример: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и отметим точку Д на продолжении стороны АС. Тогда треугольники ДВС и ДВА обладают указанным свойством, но не являются равными.

Услышав сообщение учителя «Сегодня мы докажем теорему», ученик сразу спрашивает: «А зачем?» Очень трудно осваивать теорему, если считаешь, что она не нужна. Учитель не должен забывать об этом. Не только о первой, но о каждой теореме нужно сказать несколько слов о том, как возникла эта проблема, зачем нужно ее решать. Учителю — то известно ее значение, связь с другим материалом.