Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости числового ряда. 
Привести пример, показывающий, что данный признак не является достаточным

Ответ:

Приведем необходимое условие сходимости ряда.

Теорема 1.1. Если ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + … сходится, то его общий член un стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n.

Доказательство: Пусть дан сходящийся ряд u1 + u2 + u3 +…+ un + …, имеющий сумму S. Рассмотрим его частичные суммы и Отсюда Следовательно и так как при и Поэтому Итак.

Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых. Примером может служить ряд. Однако легко показать, что ряд расходится. Для этого рассмотрим частичную сумму ряда.

Так как-то очевидно, что Отсюда непосредственно следует, что, и следовательно ряд расходится.

Сформулировать достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Ответ:

Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков. Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 1.2. (Первый признак сравнения.) Даны два знакоположительных ряда:

u1 + u2 + u3 +…+ un + …, v1 + v2 + v3 +…+ vn + …

Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда:

(1.1).

и второй ряд сходится. В таком случае первый ряд также сходится и его сумма не превосходит суммы второго ряда.

Доказательство: Обозначим через Sn и n соответственно частичные суммы первого и второго рядов:

Из неравенств (1.1) следует, что Sn n. Так как ряд сходится, то существует. При этом, поскольку члены ряда положительны, очевидно что следовательно, и Таким образом, частичные суммы ряда (U) ограничены и, следовательно, ряд (U) сходится, причем его сумма не превосходит суммы ряда (V), как это следует из неравенства.

Теорема 1.3. (Второй признак сравнения.) Даны два знакоположительных ряда:

u1 + u2 + u3 +…+ un + …, v1 + v2 + v3 +…+ vn + …

Пусть члены первого ряда не меньше соответствующих членов второго ряда:

(1.2).

и второй ряд расходится. В таком случае первый ряд также расходится.

Теорема 1.4. (Третий признак сравнения. Без доказательства.) Если существует конечный и отличный от нуля предел то оба исследуемых ряда одновременно сходятся или расходятся.

Применение признаков сравнения часто бывает затруднительно из-за необходимости составлять вспомогательный ряд.

Поэтому часто применяют другие достаточные признаки (признак Даламбера и признак Коши).

Теорема 1.5. (Признак Даламбера. Без доказательства).

Если для знакоположительного ряда u1 + u2 + u3 +…+ un + … существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена n, т. е. то при 1 ряд расходится.

Теорема 1.6. (Радикальный признак Коши. Без доказательства).

Если для знакоположительного ряда u1 + u2 + u3 +…+ un + … существует то этот ряд сходится при q1.

В случае, когда q=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.