Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. 
Функция тока

В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений. Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела. Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, x и y, также функциями этих двух координат являются проекции v_x и v_y скорости течения.

Пусть определена функция, которая удовлетворяет следующим условиям, .

Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.

Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид: или .

Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции, найдём .

При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции, напишем .

Отсюда следует, что, таким образом, функция тока на линии тока сохраняет постоянное значение.

Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т. е. что во всех точках потока имеет место условие .

В соответствии с принятыми предположениями в этом случае, где — потенциал скорости.

Из условия имеем .

Подставляя сюда выражение для функции тока, получим .

Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности имеет вид или через потенциал скорости .

Дифференциальное уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа. Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например,₁, ,… или ₁, ₂,… такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации.

где A₁, A₂, …, B₁, B₂, … — постоянные.

Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное поток будет также потенциальным и его потенциал скорости, и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.

Это можно показать следующим образом. Вектор скорости v, совпадающий с направлением касательной к линии тока, образует с осью абсцисс угол, тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен.

.

Из уравнения же эквипотенциальной линии следует и отсюда тангенс угла ₂, который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен.

.

Показать, что касательные векторы взаимно перпендикулярны, можно так .

В результате перемножения получаем .

Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий.

Функция тока имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока ₁ и ₂ (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoy будем предполагать равным единице.

.

где dS — элемент живого сечения струйки, v — скорость, n — единичный вектор по нормали к элементу dS, S₁ и S₂ — границы сечения.

Обозначим через угол, образуемый вектором с осью ox, тогда и будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,.

.

но, , поэтому.

.

Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока. Из сопоставления, следует, .

Из теории функций комплексного переменного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейная комбинация.

функций и является функцией комплексного переменного z=x+iy, т. е. .

Функция w называется комплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.

Найдём производную от комплексного потенциала.

.

где h₁ и h₂ — бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе.

.

Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует.

— это выражение называется комплексной скоростью.

Модуль комплексной скорости даёт величину скорости.

.

Тогда.

.

.

Рассмотрим.

.

Тогда.

— циркуляция,.

— расход.