Неоднородные 2 порядка

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f (x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть,.

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ:. Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f (x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Если f (x) является многочленом n-ой степени f (x) = Pn (x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде, где Qn (x) — многочлен степени n, а r — количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как — частное решение уравнения, то коэффициенты, определяющие многочлен Qn (x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

2. Если функция f (x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты, то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде, где Qn (x) — многочлен n-ой степени, r — число корней характеристического уравнения, равных. Коэффициенты многочлена Qn (x)определяются из равенства .

3 .Если функция f (x) имеет вид, где…

5. Для любого другого вида функции f (x) применяется следующий алгоритм действий:

находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y0 = C1 * y1 + C2 * y2, где y1 и y2 — линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С1 и С2 — произвольные постоянные;

варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C1(x) y1 + C2(x) y2;

производные функций C1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений, а сами функцииC1(x) и C2(x) находятся при последующем интегрировании.