Оптимизация при многоэкстремальной поверхности отклика

При применении на практике рассмотренных выше методов оптимизации следует иметь в виду, что выбор начальной точки исследования, размер и изменение шага движения, общая стратегия оптимизации должны определяться исследователем с учетом конкретной ситуации и сложности исследуемого объекта.

Многоэкстремальность поверхности отклика, наличие глобального (главного) и локальных (частных) экстремумов значительно усложняют процедуру поиска оптимума и могут привести к ошибке при его нахождении. Исключить возможность окончания поиска в локальном экстремуме позволяет методика, основанная на организации движения из нескольких начальных точек. В этом случае значительно увеличивается объем эксперимента.

При реализации этой методики возможны следующие ситуации: поиск по всем маршрутам закончился в одной точке; движение закончилось в разных точках (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Поиск главного экстремума при нескольких начальных точках.

(7,2, 3)

При реализации методики движения к глобальному экстремуму из нескольких начальных точек (при первой ситуации) можно говорить об эффективности поиска и о достижении с большой долей вероятности глобального экстремума.

Когда движение зацикливается в разных точках факторного пространства (вторая ситуация), то наиболее эффективным выходом является проведение исследования в области, охватывающей достигнутые локальные экстремумы (один из них может быть глобальным). Целью такого исследования должно быть получение математической модели, которая позволила бы описать многоэкстремальную поверхность отклика. Построение модели для отыскания глобального экстремума является наиболее эффективным путем решения задач оптимизации для любых видов поверхностей отклика. На практике исследователю на первом этапе надо найти область, близкую к экстремуму, а затем строить модель для нахождения экстремума. Задача первого этапа решается рассмотренными выше методами поиска оптимума.

При исследовании некоторых процессов не удается достичь экстремума, поскольку движение к нему наталкивается на ограничения по одной или нескольким независимым переменным. Исследователю необходимо либо расширить факторное пространство путем замены оборудования, материалов и т. д., либо рекомендовать те точки, которые лежат на границе факторного пространства. В этом случае задача оптимизации эффективнее решается с помощью математических моделей и с помощью имитационной модели, представленной в виде полинома.

Пример 2.3.

Оптимизация процесса проводилась в соответствии с априорной информацией по трем факторам: температура испарения (Л), температура подложки при осаждении (В) и термообработки © резистивных пленок рения. Значения переменных при исследовании свойств резистивных пленок приведены в табл. 2.7.

Таблица 2.7

Значение переменных при исследовании резистивных пленок.

В результате исследования (см. пример 2.1) было получено математическое описание исследуемой области.

гдеу_с — теоретическое значение функции отклика Y (параметр оптимизации), в качестве которого выбран температурный коэффициент сопротивления (ТКС • 1СН/°С) резистивных пленок; x_i6 — приведенные переменные (безразмерные значения факторов).

где индекс «б» означает безразмерность данной величины; x_oi — значение фактора в исходной точке эксперимента; ДХ, — интервал варьирования переменной при исследовании процесса; х, — текущее значение переменной в эксперименте.

По программе «крутого восхождения» (табл. 2.8) намечены так называемые «мысленные опыты» и некоторые из них (через три) реализованы для проверки соответствия теоретического значения/^ предсказанного для j-го опыта (y^_t) уравнением (2.44), и соответствующего экспериментального значения д (для упрощения в таблице приведены лишь результаты реализованных опытов и соответствующие им теоретические значения функции отклика).

План проведения и результаты эксперимента, проведенного методом крутого восхождения.

Как очевидно из табл. 2.8, пятый опыт не показал уменьшения ТКС по сравнению с четвертым реализованным опытом, и экспериментальное значение ТКСу* = 1,1 существенно отличается от его теоретического значения у^. = 0,55, полученного в соответствии с уравнением (2.44). Поэтому продолжать движение в прежнем направлении не имеет смысла. Целесообразно поставить новую серию опытов с центром в точке 4 (как имеющей наилучший результат) и найти новое направление для движения к экстремуму.