Канторово совершенное множество

Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим из прямой несобственные интервалы и. После этой операции у нас останется отрезок [0,1]. Далее, удалим из этого отрезка интервал, составляющий его среднюю треть. Из каждого из оставшихся двух отрезков и удалим его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой P.

Рассмотрим некоторые свойства этого множества.

Множество P замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого, множества непересекающихся интервалов. Множество P не пусто; во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.

Замкнутое множество P называется совершенным, если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество P совершенно. Действительно, если бы некоторая точка x была изолированной точкой множества P, то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества P не имеют общих концов.

Множество P не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал целиком принадлежит множеству P. Тогда он целиком принадлежит одному из отрезков, получающихся на n-м шаге построения множества P. Но это невозможно, так как при длины этих отрезков стремятся к нулю.

Можно показать, что множество P имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.

Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенно большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.

Приведем несколько примеров появления точечных множеств в классических разделах анализа.

Пусть f (x) — непрерывная функция, заданная на отрезке [a, b]. Зафиксируем число и рассмотрим множество тех точек x, для которых. Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке [a, b]. Точно так же множество точек x, для которых, может быть каким угодно открытым множеством. Если есть последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b], то множество тех точек x, где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу.

Свойства

• · Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
• · Канторово множество континуально.
• · Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• · Канторово множество имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность равную. В частности, оно имеет нулевую меру Лебега.

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечных множеств, называется дескриптивной теорией множеств. Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам — Н. Н. Лузину и его ученикам П. С. Александрову, М. Я. Суслину, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьеву, П. С. Новикову, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунову и др.

Исследования Н. Н. Лузина показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.