Примеры выполнения расчётов

Расчёт цепи постоянного тока

Дана расчётная схема (рис. 1) и параметры цепи (таблица 6).

Рис. 1 Расчётная схема

Таблица 6.

Параметры цепи постоянного тока.

Для выполнения задания (п. 1.1), схему по рис. 1 необходимо преобразовать следующим образом.

• 1. Изобразить источник тока.
• 2. Объединить общие точки.
• 3. Произвольно выбрать направление токов в ветвях.
• 4. Произвольно выбрать направление контурных токов.
• 5. Обозначить все узлы и точки изменения потенциала в контуре, для которого предполагается построение потенциальной диаграммы.

Преобразованная схема изображена на рис. 2.

Рис. 2 Преобразованная расчётная схема

Следует отметить, что в схеме по рис. 2 ток I₆ = 0, так как он включен в цепь с вольтметром V₁, проводимость которого равна нулю. Следовательно, в данной цепи имеется четыре независимых контура, при этом один контурный ток I известен. Таким образом, по методу контурных токов следует составить три уравнения:

E₃ — E₁ = i₁₁ · (R₁ + R₇ + R₃) + i₂₂ · R₇ — i₃₃ · R₃

E₄ = i₂₂ · (R₂ + R₇ + R₄) + i₁₁ · R₇ + i₃₃ · R₄

E₄ + E₅ — E₃ = i₃₃ · (R₃ + R₄ + R₅) — i₁₁ · R₃ + i₂₂ · R₄ — I · R₅

Решаем уравнения и находим контурные токи:

i₁₁ = 1,281 А.

i₂₂ = - 1,852 А.

i₃₃ = 5,772 А На основе найденных контурных токов находим токи в ветвях:

I₁ = — i₁₁ = - 1,281 А.

I₂ = i₂₂ = — 1,852 А.

I₃ = i₁₁ — i₃₃ = - 4,491 А.

I₄ = i₂₂ + i₃₃ = 3,92 A.

I₅ = i₃₃ — I = - 0,228 A.

I₇ = i₁₁ + i₂₂ = - 0,571 А Схема по рис. 2 включает четыре узла и четыре независимых контура, из которых один включает источник тока I. Следовательно, для проверки правильности расчётов следует составить три уравнения по I закону Кирхгофа и три уравнения по II закону Кирхгофа:

I₂ = I₁ + I₇

I₇ = I₃ + I₄

I₄ = I₂ + I₅ + I

E₃ — E₁ = I₇ · R₇ + I₃ · R₃ — I₁ · R₁

E₄ = I₂ · R₂ + I₇ · R₇ + I₄ · R₄

E₄ + E₅ — E₃ = I₄ · R₄ + I₅ · R₅ — I₃ · R₃

• — 1,852 = - 1,852
• — 0,571 = - 0,571
• 3,92 = 3,92
• — 40 = - 39,97
• 60 = 60
• 130 = 130

Проверка по законам Кирхгофа подтверждает правильность выполненных расчётов с погрешностью не более 5%.

Для составления баланса мощности предварительно необходимо определить разность потенциалов в точках подключения источника тока. Искомую величину напряжения найдём по закону Ома:

ц_б — I₅ · R₅ + E₅ = ц_e U_I = ц_e — ц_б = E₅ — I₅ · R₅ = 102,3 В Составим и рассчитаем уравнение баланса мощности:

E₁ · I₁ + E₃ · I₃ + E₄ · I₄ + E₅ · I₅ + U_I · I =

=

601,8 = 601,8.

Результаты расчёта мощностей подтверждают правильность найденных значений токов с погрешностью не более 5%.

Построение потенциальной диаграммы будем производить для контура а-в-г-б-д-е-ж, так как данный контур проходит через точки подключения вольтметров.

Примем потенциал ц_а = 0. Тогда потенциалы других точек контура можно определить по закону Ома:

ц_в = ц_а — I₇ · R₇ = 9,136 В.

ц_г = ц_в + Е₄ = 69,14 В.

ц_б = ц_г — I₄ · R₄ = — 9,26 В.

ц_д = ц_б — I₅ · R₅ = — 6,98 В.

ц_е = ц_д + Е₅ = 93,02 В.

ц_ж = ц_е — Е₁ = 23,02 В.

ц_а = ц_ж + I₁ · R₁ = — 0,038 В Для определения показания вольтметра V₁ необходимо также рассчитать потенциалы ц_з и ц_и. Поскольку ток I₆ = 0, потенциалы ц_з = ц_и, их величину можно определить по закону Ома:

ц_з = ц_и = ц_б — Е₆ = — 84,26 В Потенциальная диаграмма, построенная по результатам расчётов, приведена на рис. 3.

Рис. 3 Потенциальная диаграмма

По потенциальной диаграмме определяем показание вольтметров:

V₁ = 84,26 В; V₂ = 76,12 В.

Для определения тока в резисторе, подключенном к точкам а-б, методом эквивалентного генератора схему по рис. 2 следует преобразовать следующим образом.

• 1. Разорвать ветвь а-б.
• 2. Исключить ветви с вольтметрами.
• 3. Обозначить узловые потенциалы. Один любой узловой потенциал следует принять равным нулю, на схеме это решение можно отметить знаком заземления.
• 4. Направить токи в ветвях, включающих точки а и б.

Преобразованная схема изображена на рис. 4.

Рис. 4 Схема для определения ЭДС эквивалентного генератора

В преобразованной схеме по рис. 4 имеется три узла — б, в и е, принимаем потенциал ц_б = 0. Потенциалы ц_в и ц_е рассчитаем по методу узловых потенциалов:

Решаем уравнения и находим узловые потенциалы:

ц_в = 32,37 В; ц_е = 113,8 В.

Для определения потенциала ц_а предварительно необходимо найти ток I₁ по закону Ома:

ц_в — I₁ · R₇ — I₁ · R₁ + E₁ = ц_е А.

Зная значение тока I₁, по закону Ома можно найти потенциал ц_а:

ц_а = ц_в — I₁ · R₇ = 37,75 В ЭДС эквивалентного генератора определится как разность потенциалов ц_б и ц_а:

Е_ЭГ = ц_б — ц_а = - 37,75 В Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора R_вн, преобразуем схему по рис. 4 следующим образом.

• 1. Все источники ЭДС замыкаем.
• 2. Источник тока размыкаем.

Преобразованная схема изображена на рис. 5.

Рис. 5.5 Схема для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора — это эквивалентное сопротивление схемы по рис. 5 относительно точек а-б. Для его определения следует в схеме (рис. 5) эквивалентно преобразовать соединённые в треугольник сопротивления R₃, R₄, R₅ в соединённые в звезду сопротивления R₃₄, R₄₅, R₅₃ (рис. 6):

5,714 Ом,.

4,762 Ом,.

2,857 Ом.

Рис. 6 Преобразованная схема для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора:

15,4 Ом.

Зная Е_ЭГ и R_вн, найдём ток I₂ по формуле.

— 1,85 А.

Как можно отметить, результаты расчёта тока I₂ методом эквивалентного генератора и методом контурных токов отличаются не более чем на 5%. Следовательно, цепь постоянного тока рассчитана верно.