Свойства. 
Понятие вещественного числа

Связь с рациональными числами

Видно, что на числовой прямой рациональные числа размещаются вперемешку с вещественными, к тому же множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, как часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, построенные, в основном, на аксиоме Архимеда.

Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.

Данная лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.

Очевидным следствием этой леммы мы видим то, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами имется целое бесконечное множество рациональных. Также, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.

Рассмотренные леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это показывает лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

Пример 14.

Докажите, что.

• а) число v7;
• б) число lg 80;
• в) число v2 + ³v3;

является иррациональным.

Решение а) Допустим, что число v7 рациональное. Тогда, существуют такие взаимно простые p и q, что v7 = p/q, откуда получаем p² = 7q². Так как p и q взаимно простые, то p², а значит и p делится на 7. Тогда р = 7k, где k — некоторое натуральное число. Отсюда q² = 7k² = pk, что противоречит тому, что p и q взаимно просты.

Методом доказательства от противного мы показали, что, число v7 иррациональное.

б) Допустим, что число lg 80 рациональное. Тогда существуют такие натуральные p и q, что lg 80 = p/q, или 10^p = 80^q, откуда получаем 2^p-4q = 5^q-p. Учитывая, что числа 2 и 5 взаимно простые, получаем, что последнее равенство возможно только при p-4q = 0 и q-p = 0. Откуда p = q = 0, что невозможно, так как p и q выбраны натуральными.

Таким же образом, мы видим, что, предположение ложно, значит, число lg 80 иррациональное.

в) Обозначим данное число через х.

Тогда (х — v2)³ = 3, или х³ + 6х — 3 = v2· (3х² + 2). После возведения этого уравнения в квадрат получаем, что х должен удовлетворять уравнению х⁶ — 6х⁴ — 6х³ + 12х² — 36х + 1 = 0.

Его рациональными корнями могут быть только числа 1 и -1. Проверка же показывает, что 1 и -1 не являются корнями.

И в данном случае, данное число v2 + ³v3 является иррациональным.