Условие устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви

Рассматриваемое в этом разделе уравнение переноса du/dt + 4- ь’ди/дх = 0 является простейшим уравнением гиперболического типа с семейством действительных характеристик dx/dt = и. Если V — величина постоянная, то характеристики суть параллельные прямые: х — vt = const, а решение сохраняет постоянное значение на этих прямых: и = f (x — vt), или, как говорят, «сносится» вдоль характеристик.

Свойство устойчивости разностных схем для уравнений такого вида может быть установлено различными способами. Мы уже применяли ряд подходов: анализ первого дифференциального приближения разностной схемы и спектральный признак устойчивости. В данном разделе обратим внимание еще на один возможный подход, в котором особую роль играют характеристики дифференциального уравнения и области зависимости решения разностной задачи. Впервые этот подход был описан в статье известного математика Рихарда Куранта с сотрудниками в 1930;е годы. Высказанные идеи оказались весьма плодотворными и широко используются для качественного анализа устойчивости разностных схем. Изложим этот подход на простом примере.

Рис. 5.5. Условие устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви.

Возьмем для определенности одну из рассмотренных разностных схем, схему (5.13) — явный левый уголок:

которая позволяет построить решение в точке С (рис. 5.5) по значениям сеточной функции и в точках А и В предыдущего временного слоя. Отрезок А В представляет собой область за;

висимости решения в точке С разностной задачи.

11усть DC — характеристика исходной дифференциальной задачи. Решение в точку С сносится по этой характеристике из точки D. Точка D представляет собой физическую область зависимости решения в точке С дифференциальной задачи. Условие, что точка D находится внутри АВ, есть знакомое нам условие устойчивости: vt/Ii ^ 1.

В силу того, что значение сеточной функции в точке D может быть получено интерполяцией решения в точках А и В, разностная схема в этом случае верно отражает физическое содержание задачи. Если характеристика, проходящая через точку С, пересекает ось Ох вне отрезка А В, это означает, что в точку С сносится решение, не учитываемое разностной схемой (прямые CD' и CD" на рис. 5.5). Как было показано выше, этим ситуациям соответствует неустойчивость разностной схемы.

Исходя из этих рассуждений, проводимых на физическом уровне строгости, можно сформулировать следующий признак устойчивости разностных схем (называемый также условием устойчивости Куранта Фридрихса Леви). Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы область зависимости решения разностной задачи. включала в себя область зависимости, решения дифференциальной задачи. В силу того, что отношение 1г/т имеет размерность скорости и может быть интерпретировано как скорость передачи информации по сетке (сеточная скорость), условие устойчивости может быть дано в следующей формулировке. Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы скорость сетки была больше физической скорости.

Заключение

об устойчивости следующих примеров разностных схем будем давать с помощью условия Куранта.

Схема Лакса. В этой схеме особым образом аппроксимируется производная по времени:

позволяет получить решение на п + 1 -м временном слое явным методом (рис. 5.6, б).

Рис. 5.7. Неявный левый уголок. Схема бегущего счета.

Область зависимости сеточной задачи есть отрезок АВ. Устойчивость будет выполнена для любого соотношения шагов разностной сетки при v > 0 .

Как видно из рис. 5.8, в, разностная область зависимости решения есть вертикальный отрезок (tⁿ> ?⁺¹). Условие устойчивости:

V < 0.

Неявный правый уголок. Эта схема также позволяет организовать явный счёт при известной стартовой точке (правом граничном условии):

Рис. 5.8. Неявный правый уголок. Схема бегущего счета при правом граничном условии.

Схемы этих двух последних примеров называют иногда схемами «бегущего «счета.