Идентификация законов распределения случайных величин, наиболее важных для данного процесса. 
Расчет необходимых статистических оценок

Во многих практических задачах закон распределения исследуемой величины не известен. Можно сделать предположение о законе распределения, рассчитать его основные параметры и осуществить проверку статистической гипотезы о виде закона распределения с помощью критерия согласия. Одним из наиболее часто употребляемых критериев согласия является критерий «хи-квадрат», предложенный К. Пирсоном:

где и — соответственно частоты эмпирического и теоретического распределений в i-том интервале. Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше величина критерия Пирсона. Так как — случайная величина, то и? так же является случайной величиной.

Проведем статистическую обработку первичной информации (Таблица 1). В настоящее время имеется большое число прикладных программ, предназначенных для статистической обработки данных, одной из этих программ является Excel, которая и будет применена.

Первичные данные подвергнем обработке методами математической статистики, в результате чего построим интервальный ряд. В качестве первого приближения разбиения имеющейся выборки на интервалы будем использовать формулу Стерджесса:

.

где n — число единиц совокупности, N — число интервалов. В нашем случае N = 100, поэтому, то есть принимаем число интервалов N = 8.

Из таблицы 2 видим, что минимальное значение времени между заявками равно 0 минутам (то есть заявки могут поступить одновременно), а максимальное — 40.

Произведем подсчет попадания значений в заданные интервалы.

Таблица 4.

Частота попаданий значений в заданные интервалы.

Номер интервала,. №.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	Частота,.

Для проведения расчетов каждый интервал должен содержать не менее 6 значений изучаемой случайной величины. Из таблицы 4 видим, что данное условие не выполняется, поэтому объединим 6, 7 и 8 интервалы. Получим следующую таблицу.

Таблица 5.

Частота попаданий значений в заданные интервалы.

Номер интервала,. №.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	Частота,.

Таблица 6.

Результаты статистического исследования случайной величины — времени между поступлением заявок.

№ интервала.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	Частота,.	Центр интервала,.
				2,5.	92,5.	— 7,7.	2193,73.
				7,5.	187,5.	— 2,7.	182,25.
				12,5.		2,3.	74,06.
				17,5.	157,5.	7,3.	479,61.
				22,5.		12,3.	1210,32.
				32,5.	227,5.	22,3.	3481,03.

Полученное распределение частот интервального ряда для случайной величины — времени между поступающими заявками иллюстрирует гистограмма, приведенная на рис. 2.

Вид гистограммы позволяет предположить, что исследуемая случайная величина подчиняется экспоненциальному закону с параметром л = 0,1. Для проверки данной гипотезы воспользуемся критерием согласия Пирсона. Для этого составим таблицу.

Таблица 7.

Теоретические значения вероятности для случайной величины — времени между поступлением заявок.

№ интервала.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	exp (-л.	exp (-л.
				0,6065.	0,3935.	39,35.		0,1403.
			0,6065.	0,3679.	0,2386.	23,86.		0,0545.
			0,3679.	0,2231.	0,1448.	14,48.		0,0159.
			0,2231.	0,1353.	0,0878.	8,78.		0,0055.
			0,1353.	0,0821.	0,0532.	5,32.		1,3501.
			0,0821.	0,0183.	0,0638.	6,38.		0,0603.

exp (-л — exp (-л.

Выбрав уровень значимости = 0,8 и учитывая, что в данном случае число степеней свободы равно m = 6 — 1 — 1 = 4, находим в таблице. Так как, делаем вывод о том, что выдвинутая статистическая гипотеза принимается. Следовательно, полученные данные не противоречат предположению об экпоненциальном распределении с параметром л = 0,1.

Аналогичным образом обработаем случайную величину СВ3 — длительность проработки технической возможности. Полученные результаты иллюстрируют таблицы 8- и рис. 3, приводимые ниже.

Из таблицы 3 видим, что минимальное значение времени проверки технической возможности равно 61 минуте, а максимальное — 81 минуте.

Разделим данный отрезок на 10 интервалов.

Произведем подсчет попадания значений в заданные интервалы.

Таблица 8.

Частота попаданий значений в заданные интервалы.

Номер интервала,. №.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	Частота,.

Для проведения расчетов каждый интервал должен содержать не менее 6 значений изучаемой случайной величины. Из таблицы 4 видим, что данное условие не выполняется, поэтому объединим 1 и 2 интервалы, а также 8, 9 и 10. Получим следующую таблицу.

Таблица 9.

Частота попаданий значений в заданные интервалы.

Номер интервала,. №.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	Частота,.

Таблица 10.

Результаты статистического исследования случайной величины — времени проработки технической возможности.

№ интервала.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	Частота,.	Центр интервала,.
						— 7,46.	445,21.
						— 4,46.	238,7.
						— 2,46.	84,72.
						0,46.	4,87.
						1,54.	45,06.
						3,54.	162,91.
						7,54.	625,37.

Полученное распределение частот интервального ряда для случайной величины — времени проверки технической возможности установки счетчика иллюстрирует гистограмма, приведенная на рис. 3.

Вид гистограммы позволяет предположить, что исследуемая случайная величина подчиняется нормальному закону с параметрами m = хВ = 70.46 и. Для проверки данной гипотезы воспользуемся критерием согласия Пирсона. Для этого составим таблицы 11 и 12.

Таблица 11.

Теоретические значения вероятности для случайной величины — времени проверки технической возможности установки прибора учета газа.

№ интервала.	Нижняя граница,.	Верхняя граница,.	Ц (zi).	Ц (zi+1).
			— 0,4909.	— 0,4131.	0,0778.	7,78.		0,0062.
			— 0,4134.	— 0,3051.	0,108.	10,8.		0,1333.
			— 0,3051.	— 0,1406.	0,1645.	16,45.		0,3649.
			— 0,1406.	0,0517.	0,1923.	19,23.		0,7391.
			0,0517.	0,2357.	0,184.	18,4.		0,0196.
			0,2357.	0,3708.	0,1351.	13,51.		0,0193.
			0,3708.	0,4957.	0,1249.	12,49.		0,1778.

Pi = Ц (zi+1) — Ц (zi).

Таблица 12.

Вычисление и для СВ3.

	— 2,36.	— 1,36.
	— 1,36.	— 0,86.
	— 0,86.	— 0,36.
	— 0,36.	0,13.
	0,13.	0,63.
	0,63.	1,13.
	1,13.	2,63.

Выбрав уровень значимости = 0,8 и учитывая, что в данном случае число степеней свободы равно k = 7 — 2 — 1 = 4, находим в таблице. Так как, делаем вывод о том, что выдвинутая статистическая гипотеза принимается. Следовательно, полученные данные не противоречат предположению о нормальном законе распределении с параметрами m = 70.46 и .