Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным однородным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида у + a * у^(п 1) +… a_n-1 * у' + a_n * у = 0, (2.29).

где a₁, a₂,., a_n — некоторые действительные числа.

Для решения этого уравнения составляют характеристическое уравнение к_п + a1 * к^п1 +. + a_n-1 * к + a_n = 0. (2.30).

Это уравнение (2.29) является уравнением n-ой степени и имеет n корней: они могут быть простыми, кратными и комплексными. Тогда общее решение дифференциального уравнения (2.29) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения (2.30):

• 1) каждому действительному простому корню к в общем решении соответствует слагаемое вида: C * t^кх; (2,31)
• 2) каждому действительному корню к кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида:
  • (C1 + C2 * x… Cm * x¹«-¹) * t (2.32)
• 3) каждой паре комплексных корней к₁ = a + ip и к₂ = a — ip в общем решении соответствует слагаемое вида:

t^ах (C_rcos px + C2 * sin px); (2.33).

4) каждой паре комплексных сопряженных корней к1 = a + ip и к2 = a — ip кратности m в общем решении соответствует слагаемое вида:

t^ax * [(C1 + C2 * x +… + Cm * x" -¹)] * cos px + (D1 + D2X +… Dm * x" -¹) sin px]. (2.34).

ПРИМЕР 1.

Найти общее решение ДУ:

у" - 7у' + 6у = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к² — 7к + 6 = 0.

Его корни: к1 = 6, к2 = 1.

Следовательно, общее решение данного ДУ:

у = C_r t^6x + C₂— t^x.

ПРИМЕР 2.

Найти общее решение уравнения у''' - 6у'' + 12у' - 8 = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к³ — 6к² + 12к — 8=(к — 2)³= 0.

Его корни: к₁ = к₂ = к₃ = 2, т. е. к = 2 — корень кратности 3. Следовательно, общее решение исходного уравнения: у=(С1 + С2 * x + + Сз * х²) * t ^2х.

ПРИМЕР 3.

Найти общее решение уравнения у" - 4у' + 13у' = 0.

Решение.

Построим характеристическое уравнение:

к" - 4к + 13 = 0.

Его корни:

к₁ = 2 + 3i, к₂ = 2 + 3i.

Следовательно, общее решение исходного уравнения: у = t ^2х * (С₁ * cos 3x + С₂ * sin 3x).

ЗАДАНИЕ.

Найти общее решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

1). у'' + 5у' + 6у = 0.

Ответ: у = С1 * t^-3x + С2t^-2x;

2). у" - 2y +10y = 0.

Ответ: у = t^x * (С₁ * cos 3x + С₂ * sin 3x);

3). y'' + 3y' - 4y = 0.

Ответ: у = С₁1^x + С₂ * t ^4x;

4). y" - 2y'+ 4y = 0.

Ответ: у = t^x * (С₁ cosVx+ С₂ sinVx).

5). y''' - 3y'' + 3y' - y= 0.

Ответ: у = t^x * (С₁ + С₂х + С₃х²);

6). x''' + 2x" - 3x' = 0.

Ответ: x = С1 + С21^-t + С3 t^3t;

7). x''' - 8x = 0.

Ответ: x = С₁1^2t + t^-t (QcosV-1 + ^sinT-1);