Тригонометрические интерполяционные полиномы

На практике мы часто сталкиваемся с периодическими функциями, которые имеют следующее свойство: f (x+T) = f{x), где Т > 0 называется периодом функции. Например, функции, определенные на замкнутых плоских или пространственных кривых, могут рассматриваться как периодические функции. Полиномиальная интерполяция не подходит для таких зависимостей, так как алгебраические полиномы не являются периодическими функциями. Поэтому мы обратимся к интерполяции с использованием тригонометрических полиномов. Пусть период Т равен 2л. Предположим, что заданы значения у₀, …, г/2Л^{г в} различных точках х₀,…, X2N ^е [0> 2л). Тогда существует единственный тригонометрический полином Qx (x), удовлетворяющий условию.

В представлении Лагранжа этот полином имеет вид.

где сомножители 1_п(х) задаются как.

Когда точки интерполяции расположены равномерно, представление (8.5) можно упростить. Для нечетного числа точек.

существует единственный тригонометрический полином.

удовлетворяющий условию Ом (х_п)=у", п = О,…, 2N. Коэффициенты этого полинома вычисляются следующим образом:

Для четного числа точек.

существует единственный тригонометрический полином.

удовлетворяющий условию Q_t(x_n) = у_т п = О,2N — 1. Коэффициенты этого полинома вычисляются следующим образом:

Тригонометрические интерполяционные полиномы (8.6) и (8.7) можно рассматривать как приближенный ряд Фурье, где интегралы, определяющие коэффициенты этого ряда, вычисляются по методу прямоугольников для равномерной сетки.

Для вычисления значения тригонометрического интерполяционного полинома в некоторой точке х следует использовать процедуру, аналогичную схеме Горнера для алгебраических полиномов. Только теперь рекурентные формулы имеют следующий вид:

с начальными условиями = a_jV и рдг = 0. В итоге мы получим.

Если вместо a_N подставить p_jV и задать начальное условие адг = йдг и рдг= 0, то рекуррентные формулы (8.8) дают.

Следовательно, вычисление значения тригонометрического полинома в точке х требует только вычисления функций sin (x) и cos (x), 8N умножений и 6N сложений.

Пример 8.3 (тригонометрическая интерполяция) Рассмотрим некоторые значения у_ПУ заданные в точках х_п, как показано в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Предположим, что эти данные описываются некоторой периодической функцией. На рис. 8.2 показан тригонометрический полином Ол (х), определенный в (8.5), и интерполяционный полином Ньютона Р{х)_у построенный на основе данных из табл. 8.3.

Рис. 8.2. Гладкие кривые, описывающие данные из табл. 8.2:

О — данные;—тригонометрический интерполяционный полином;

——интерполяционный полином Ньютона Хорошо видно, что тригонометрический полином лучше представляет исходные данные, чем полином Ньютона. Более того, Qa (2u) = 0, а Р₄(2л) «19.2, что демонстрирует непригодность полиномов для интерполяции периодических функций.