Интеграл Лебега и его свойства

Прежде, чем перейти к рассмотрению интеграла Лебега, введём понятие простой функции.

Определение -1. Функция f (x) определённая на некотором пространстве X с заданной на нём мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более чем счётное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.

Теорема -1.Функция f (x), принимающая не более чем счётное число различных значений: y1, y2,., yn,…, измерима в том и только в том случае, если все множества An={x:f (x)=yn} измеримы.

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое An есть прообраз одноточечного множества, а всякое одноточечное множество является борелевским (множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств.). Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз любого борелевского множества есть объединение не более чем счётного числа измеримых множеств An, т. е. измерим. (Пусть Xмножество, на котором задана на нём аддитивная мера, определённая на алгебре. Действительная функция f (x) на X называется — измеримой, если для всякого борелевского множества A числовой прямой. Аналогично комплексная функция, определённая на X называется — измеримой, если для всякого борелевского подмножества A комплексной плоскости.).

Использование простых функций для построения интеграла Лебега основано на следующей теореме.

Теорема -2. Для измеримости функций f (x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящихся последовательностей простых измеримых функций.

Прежде чем доказать это утверждение рассмотрим следующую теорему.

Теорема -3. Предел, сходящейся последовательности при каждом x последовательности измеримых функций измерим.

Теперь, докажем нашу теорему.

Доказательство. Достаточность ясна из теоремы -3.

Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию f (x) и положим fn (x)=m/n, если m/nf (x)<(m+1)/n, где m-целые, а n-целые положительные числа. Из построения ясно, что функции fn (x)-простые; при n они равномерно сходятся к f (x), так как.

|f (x)-fn (x)|1/n.

Введем теперь понятие интеграла Лебега для рассмотренных выше простых функций, т. е. для измеримых функций, (Пусть X и Yдва произвольных множества и пусть в них выделены две системы подмножеств и соответственно. Абстрактная функция y=f (x) с областью определения X, принимающей значение на Y, называется (,) — измеримой, если из A вытекает, что .), принимающих конечное и счётное число значений.

Пусть fнекоторая простая функция, принимающая значения y1, y2,…, yn…; yiyj при i, и пусть A — некоторое измеримое подмножество множества X.

Тогда естественно определить интеграл от функции f по множеству A равенством.

.

где An={x: x f (x)=yn}, (1) если ряд справа сходится.

Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение — 2. Простая функция f называется интегрируемой или суммируемой по мере на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходиться. (Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей, иначе — сходящимся условно.) Если f — интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству A.

Замечание. В этом определении предполагается, что все yn различны. Однако можно представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида ck и не предполагая, что все ck различны. Это позволит сделать следующая лемма.

Лемма. Пусть A= при i и пусть на каждом множестве функция f принимает только одно значение ck; тогда.

(2),.

причём функция f интегрируема на A в том и только в том случае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство. Легко видеть, что каждое множество.

An={x: x f (x)=yn} является объединением тех, для которых ck=yn. Поэтому.

Так как мера неотрицательна, то.

.

т. е. ряды и абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций.

Свойство- 1., причём из существования интегралов в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Для доказательства предположим, что f, принимает значения fi на множествах FiA, а g — значения gj на множествах GiA, так что:

J1= =) (3), J2= =) (4).

Тогда в силу предыдущей леммы:

J== (5);

)=,)=,.

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом J=J1+J2. Ч. Т. Д.

Свойство -2. Для любого постоянного k:, причём из существования интеграла в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Свойство — 3. Ограниченная на множестве A простая функция f интегрируема на A, причём, если на A, то .

Дадим теперь общее определение интеграла Лебега.

Определение -4. Назовём функцию f интегрируемой (суммируемой на множестве A, если существует последовательность простых интегрируемых на множестве A функций {fn}, сходящаяся равномерно к f. Предел I= обозначим и назовём интегралом функции f на множестве A.

Замечание. Это определение корректно, если выполнены следующие условия: 1) предел (6) для любой равномерно сходящейся последовательности простых интегрируемых на A функций существует; 2) этот предел при заданной функции f не зависит от выбора последовательности {fn}; 3) для простых функций определение интегрируемости и интеграла равносильно определению (2).

Все эти условия действительно выполнены.

Для доказательства выполнения первого достаточно заметить, что в силу рассмотренных выше свойств — 1), 2), 3) интеграла Лебега от простых функций,.

(7).

Для доказательства второго условия надо рассмотреть две последовательности, {fn} и, сходящиеся к f. Если бы предел (6) для этих двух последовательностей принимал различные значения, то для последовательности, полученной объединением этих двух последовательностей, не существовал бы, что противоречит первому условию. Наконец, для доказательства справедливости третьего условия достаточно рассмотреть последовательность, в которой fn=f для всех n.

Таким образом, в построении интеграла Лебега имеются два существенных этапа. Первый — непосредственное определение интеграла (как суммы ряда) для некоторого класса функций (простых суммируемых функций), достаточно простого и в тоже время достаточно обширного, второй — распространение определения интеграла на существенно более широкий класс функций с помощью предельного перехода.

Установим теперь основные свойства интеграла Лебега. Непосредственно из определения следует, что 1).

• (8)
• 2). Для любого постоянного k:
  • (9),

причём из существования интеграла в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Это свойство выводится при помощи предельного перехода из свойства 2) интеграла от простых функций.

3). Аддитивность:

(10),.

причём из существования интегралов в правой части равенства следует существование интегралов в левой.

Доказательство получается предельным переходом из свойства 1). интеграла от простых функций.

4). Ограниченная на множестве A функция f интегрируема на A.

Доказательство получается предельным переходом из свойства 2) интеграла от простых функций, с использованием теоремы (2).

5). Монотонность: если f (x), то интеграл (I) (в предположении, что интеграл существует).

Для простых функций это утверждение следует прямо из определения, а в общем случае его можно вывести, заметив, что если f измерима и неотрицательна, то найдётся равномерно сходящаяся к ней последовательность по теореме (2) неотрицательных простых функций.

Из последнего свойства сразу следует, что если f (x), то.

(II),.

а поэтому, если mf (x) для всех (или почти для всех) xA, то m (A)(A) (III).

• 6). Если (A)=0, то =0.
• 6)'. Если f (x)=g (x) почти всюду, то причём оба интеграла одновременно существуют или не существуют одновременно.

Эти два утверждения непосредственно вытекают из определения интеграла Лебега.

7). Если функция интегрируема на A и почти всюду (x), то f также интегрируема на A .

Действительно, если f и — простые функции, то удалив из множества A некоторое множество меры нуль, оставшиеся множество A' можно представить как объединение конечного или счётного числа множеств, на каждом из которых f и постоянны: f (x)=an, bn, причём |anbn. Из интегрируемости вытекает, что.

= =.

Поэтому f тоже интегрируема, и.

== =.

В общем случае это утверждение доказывается предельным переходом с использованием теоремы (2).

8). Интегралы I1=, I2= (IV), существуют или не существуют одновременно.

В самом деле, из существования интеграла I2 вытекает существование интеграла I1 в силу свойства 7).

Обратное, для случая простой функции вытекает из определения интеграла, а для общего случая доказывается предельным переходом с использованием теоремы (2); при этом нужно воспользоваться неравенством:

.

Установим теперь некоторые свойства интеграла F (A)=, как функцию множества, определённую на совокупности измеримых функций. Установим, прежде всего, следующее свойство:

Теорема -4. Если A=, при i, то.

= (V),.

причём из существования интеграла в левой части равенства следует существование, и абсолютная сходимость ряда в правой части.

Доказательство.

Сначала проверим утверждение теоремы для простой функции f, принимающей значения: y1, y2,., yn,… Пусть Bk={x:xA, f (x)=yk}, ={x:xAn, f (x)=yk}. Тогда.

=(VI).

Так как ряд, в предположении интегрируемости f на A, абсолютно сходится, а меры всех множеств неотрицательны, то сходятся абсолютно и все остальные ряды в цепочке равенств (VI).

В случае произвольной функции f из её интегрируемости на A вытекает, что для любого существует простая интегрируемая на A функция g, удовлетворяющая условию. (11).

Для g имеем = (VII), причём g интегрируема на каждом множестве An и ряд (VII) абсолютно сходится.

Из этого последнего обстоятельства и из оценки (11) вытекает, что f тоже интегрируема на каждом An и.

.

.

что вместе с (VII) приводит к абсолютной сходимости ряда и к оценке.

.

Так как произвольно, то.

=.

Следствие. Если f интегрируема на A, то f интегрируема и на любом измеримом множестве A’A.

Итак мы показали, что из интегрируемости f по множеству A следует, что если A=, при iто f интегрируема по каждому и интеграл по A равен сумме интегралов по множествам. Это утверждение можно записать в следующем виде. Теорема -5. Если A=, при i и ряд (12) сходится, то функция f интегрируема на A и.

=.

Замечание. Новым по отношению к предыдущей теоремы здесь является утверждение, что из сходимости ряда (12) следует интегрируемость функции f на A.

Доказательство. Сначала проведём доказательство для случая простой функции f, принимающей значение fi. Положив, Bi={x:xA, f (x)=fi.}, Ani=AnBi, имеем.

=Bi и =.

Из сходимости ряда (12) вытекает, что сходятся ряды.

.

Сходимость последнего ряда означает, что существует интеграл.

=.

В общем случае заменим f простой функцией так, что.

(VIII). Тогда + и так как ряд = сходится, из сходимости ряда (VIII) вытекает сходимость ряда, т. е. по только что доказанному, интегрируемость на A простой функции .

Но тогда в силу (VIII) исходная функция f также интегрируема на A. Теорема доказана.

Неравенство Чебышева. Если на A и c>0, то.

(13).

Действительно, пусть A'= Тогда.

=+ +A').

Следствие. Если =0, то f (x)=0 почти всюду.

В самом деле, в силу неравенства Чебышева, имеем:

=0 для всех n.

Поэтому.

Ч. Т. Д.

Ранее мы установили, что интеграл Лебега по множеству нулевой меры равен нулю для любой функции f. Это утверждение можно рассматривать как предельный случай следующей теоремы.

Теорема -6. (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.) Если.

f (x) — суммируемая на множестве A функция, то для каждого существует, такое, что, что для всякого измеримого eA такого, что .

Доказательство. Заметим, прежде всего, что наше утверждение, если f ограничена, верно.

Пусть теперь f — произвольная суммируемая на A функция. Положим An={x:xA, n} и BN=, CN=ABN. Тогда в силу теоремы -4:

=.

Выберем теперь N таким образом, что.

=,.

и пусть 0<.

Теперь, если, то.

=+.

Первый из стоящих справа интегралов не превосходит /2 (свойство 5), а второй не больше, чем интеграл, взятый по всему множеству CN, т. е. также не превосходит /2; таким образом, получаем. Теорема доказана.

Установленные свойства интеграла как функции множества приводят к следующему результату. Пусть fнеотрицательная функция, суммируемая на пространстве X по мере. Тогда функция F (A)= определена для всех измеримых множеств AX, неотрицательна и аддитивна, т. е. удовлетворяет условию: если A=,, то F (A)=. Иными словами интеграл от неотрицательной функции обладает свойствами аддитивной меры. Эта мера определена на той же алгебре, что и исходная мера, и связана с условием: если, то и F (A)=0.

Вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега или что, то же самое, о почленном интегрировании сходящегося ряда, часто возникает в различных задачах.

В рамках математического анализа устанавливается, что достаточным условием такого предельного перехода является равномерная сходимость соответствующей последовательности (ряда).

Сейчас мы установим теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, представляющие собой обобщения соответствующих теорем математического анализа.

Теорема -7. (Лебег). Если последовательность {fn} на A сходится к f и при всех n:, где — интегрируема на А, то предельная функция f интегрируема на, А и.

.

Доказательство. Из условий теоремы легко следует, что. Поэтому fинтегрируема (по свойству 7). Пусть произвольно. Тогда по теореме -6 (об абсолютной непрерывности интеграла) найдётся такое, что, если, то <

В силу теоремы Егорова (пусть E — множество конечной меры так, и последовательность измеримых функций, сходиться почти всюду к f (x). Тогда для любого такое, что и последовательность {fn (x)} равномерно сходится к f (x) на) множество B, удовлетворяющие условию, можно выбирать так, чтобы последовательность {fn} сходиться равномерно на C=AB равномерно. Следовательно, найдётся такое N, что при nи xC выполнено неравенство: .

Тогда -=±, и так как и, то в силу <�получаем.

.

Следствие. Если =const и f, то.

.

Замечание. Поскольку значения, принимаемые функцией на множестве меры 0, не влияют на величину интеграла, в теореме — 7 предположить, что {fn} сходиться к f почти всюду и что каждое из неравенств также выполняется лишь почти всюду.

Теорема -8. (Б. Леви). Пусть на множестве A f1(x) причём функции интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности. Тогда почти всюду на A существует конечный предел: f (x)= функция f интегрируема на A и.

.

При этом на множестве, на котором указанный в теореме предел не существует, функцию f можно задать произвольно, например, положив на этом множестве f (x)=0.

Доказательство. Предположим, что f1(x), так как общий случай легко сводится к этому путём перехода к функциям .

Рассмотрим теперь множество.

.

Множество можно представить в следующем виде:

.

.

В силу рассмотренного выше неравенства Чебышева:

.

Так как-то при, но при любом r поэтому. Ввиду произвольности r отсюда следует, что .

Таким образом мы доказали, что монотонная последовательность {fn (x)} почти всюду на A имеет конечный предел f (x).

Обозначим через Ar множество тех точек xA, для которых.

r-1r,.

где r=1,2,…, и положим r на Ar.

Если будет доказана интегрируемость на A, то утверждение нашей теоремы сделается следствием теоремы Лебега.

Положим Bs=, так как на Bs функции fn и f ограниченны и всегда, то.

=.

Но. Ограниченность же этих сумм означает сходимость ряда.

=.

Таким образом, интегрируемость на A доказана. Условие монотонного неубывания функций fn (x) можно заменить условием монотонного невозрастания.

Следствие. Если и, то почти всюду на A ряд сходится и.

.

Теорема — 9. (Фату). Если измеримых неотрицательных функций {fn} сходится почти всюду на A к f и, то f интегрируема на A и .

Доказательство. Положим = измерима, так как рассмотреть множества {x:(x)c} и, то будет выполняться следующее равенство{x:(x)c}=.

Более того, 0(x)), поэтому интегрируема, и.

;

наконец, 1(x) и почти всюду. Поэтому, применяя теорему к {}, получаем требуемые результаты. Теорема доказана.

Замечание. Мы рассматривали ранее интеграл Лебега и его свойства, считая, что рассматриваются функции, заданные на том или ином измеримом множестве конечной меры.

Однако часто приходиться иметь дело с функциями, заданными на множестве, мера которого бесконечна, например, на прямой с Лебеговой меры на ней. Поэтому важно распространить понятие интеграла и на этот случай. Мы ограничимся при этом случаем, когда множество X может быть представлено как сумма счётного числа множеств конечной меры:

.

Если пространство X, на котором задана меры, представимо как сумма счётного числа множеств конечной меры, то мера называется.

• — конечной. Примерами — конечных мер служат меры Лебега на прямой, плоскости, в n — мерном пространстве. Меру, не удовлетворяющую условию
• — конечности, можно получить, например, приписав каждой точке на прямой вес 1. Тогда все подмножества прямой можно считать измеримыми, причём конечные множества будут иметь конечную меру, а остальные бесконечную.

Назовём исчерпывающей последовательностью всякую монотонно возрастающую последовательность {Xn} измеримых подмножеств множества X, удовлетворяющую условию, .

Введём теперь, следующее определение.

Определение -4. Измеримая функция f, определённая на множестве X c — конечной мерой, называется суммируемой на X, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве AX конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности {Xn} придел: существует и не зависит от выбора этой последовательности. Этот придел называется интегралом от f по множеству X и обозначается символом: .

Замечание. Если функция f равна нулю вне некоторого множества конечной меры, то для ней только что сформулированное определение интеграла равносильно тому которое было дано ранее для функций, заданных на измеримых множествах конечной меры.

Замечание. Ранее данное определение интеграла от простой функции можно дословно перевести на случай бесконечной меры. При этом для суммируемости простой функции необходимо, чтобы каждое отличное от нуля значение она принимала только на множестве конечной меры. Определение -3 суммируемости связано с предположением конечности меры множества X. Действительно, если, то из равномерной сходимости последовательности простых суммируемых функций {} не следует, вообще говоря, сходимость последовательности их интегралов.

Результаты, полученные нами ранее для интегралов по множеству с конечной мерой, в основном переносится на интегралы по множеству бесконечной меры. Отличие же состоит в том, что в случае, ограниченная измеримая функция на X не обязана быть суммируемой. В частности, если, то никакая отличная от нуля константа не интегрируема на X.

Теоремы Лебега, Б. Леви Фату остаются справедливыми также и в случае с бесконечной меры.

Выясним теперь связь между интегралами Лебега и Римана. При этом мы ограничимся простейшим случаем линейной мерой Лебега на прямой.

Теорема -10. Если существует интеграл Римана: I=®, то f интегрируема на отрезке [a, b] по Лебегу и.

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка [a, b] на 2n частей точками xk=a+ и соответствующие этому суммы Дарбу:

,.

гдеверхняя грань f на отрезке xk-1 анижняя грань f на том же самом отрезке. Тогда по определению интеграла Римана, I==.

Положим (x)= при xk-1, а= при xk-1.

В точке x=b функции и можно доопределить произвольно.

При этом, (по определению сумм Дарбу).

Так как последовательность не возрастает, а последовательность не убывает, то почти всюду и.

.

Тогда по теореме Б. Леви имеем: ==I= =. Поэтому: ==0, и следовательно, почти всюду =0, т. е. =f (x) и. Теорема доказана.

Замечание. Обратное утверждение к теореме -10, вообще говоря, не верно. В этом легко убедится. Достаточно привести пример ограниченных функций на некотором отрезке, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Риману. К таким примерам относится, например функция Дирихле, на отрезке [0,1], принимающая значение — 1 для рациональных и значение — 0 для иррациональных x. Что касается неограниченных функций, то такие функции вообще не могут быть интегрируемы по Риману, но многие из них интегрируемы по Лебегу.

В частности любая функция f (x), которой интеграл Римана существует при каждом и имеет конечный придел I при, интегрируема по Лебегу на [a, b], причём.

.

Несобственный интеграл в случае, когда, не существует в лебеговом смысле, поскольку, согласно свойству -8, из суммируемости функции f (x) следует, что и функция.

тоже суммируема. Например, интеграл: dx существует, как условно сходящийся несобственный интеграл Римана, но не существует, как интеграл Лебега.

Если рассматривается функция на всей прямой или полупрямой, то интеграл Римана для такой функции может существовать, лишь в несобственном смысле. Но если, этот интеграл сходиться абсолютно, то соответствующий лебегов интеграл существует и имеет то же самое значение. Если же этот интеграл сходится лишь условно, то в лебеговом смысле функция не интегрируема. Например, функция не интегрируема по Лебегу на всей прямой, поскольку. Однако несобственный интеграл существует и равен .