Контрольные вопросы. 
Математическое моделирование нелинейных процессов

• 1. Что понимается под динамической системой?
• 2. Как выглядит линейное уравнение переноса и каков его тип?
• 3. Подчиняются ли решения уравнения переноса (10.3) принципу максимума? Подчиняются ли принципу максимума решения неоднородного уравнения переноса?
• 4. Какие модели связаны с уравнением Фёрстера?
• 5. Каковы численные методы решения уравнений в частных производных для линейных и квазилинейных уравнений?

Задания для самостоятельной работы

• 10.1. Найдите в явном виде уравнение характеристики для уравнения (10.2). В какое уравнение перейдет неоднородное уравнение переноса (10.3) вдоль характеристики?
• 10.2. Рассматривая разную функцию интенсивности подготовки, качественно постройте характеристики уравнения (10.7) и сделайте вывод об эффективности системы подготовки профессиональных кадров. Ответьте на вопрос, почему для данного уравнения важен только первоначальный характер распределения студентов, но квалификациям, но не нужны граничные условия. Модифицируйте модель, учитывающую динамику конкурса в данный институт в разные годы.
• 10.3. Нарисуйте шаблон неявной нецентральной схемы в случаях у = 0,5 и у = 1.
• 10.4. Пусть начальные условия для задачи Коши поставлены следующим образом:

+оо.

и (х, 0) = ch ²(х). Тогда уравнение Хопфа имеет первый интеграл J и (х, t) dx = const.

—оо Проверьте, что приведенная выше схема является консервативной, т.с. в ней на сеточном уровне автоматически выполняется тот же закон сохранения.

• 10.5. Постройте аналогичную схему с использованием характеристической формы записи уравнения Хопфа (10.12). Будет ли она консервативной?
• 10.6. Некоторая разностная схема для решения уравнения переноса (10.3) 1-го порядка аппроксимации обладает отрицательным коэффициентом схемной вязкости. Что можно сказать о других свойствах этой схемы (устойчивость, сходимость, монотонность)?
• 10.7. Постройте четырехточечную схему с искусственной вязкостью для квазилинейного уравнения (уравнения Хопфа в форме (10.11) и (10.12)).
• 10.8. Рассмотрим квазилинейное уравнение Хопфа

с начальными и краевыми условиями г/(0,1) = а,

Из каждой начальной или краевой точки выходит характеристика с наклоном /и, вдоль которых и переносится начальное значение решения.

Наклон характеристик tga = 1 /а левее точки разрыва и tga = 1 /Ь правее точки разрыва. В точке .г₀ образуются две характеристики, между которыми решение из общих соображений найти трудно (рис. 10.5). Неоднозначность в решении может быть устранена следующим приемом: размажем разрыв в начальных значениях линейно на интервале [х₀ — е; х₀ + е], получим непрерывное решение, в том числе и в проблемном секторе, устремим 8 к нулю. Покажите, что таким предельным решением будет следующее:

Это решение непрерывно, но сохраняет разрыв производных решения на выделенных характеристиках, поэтому называется слабым разрывом.

Рис. 10.5. К заданию 10.8.

10.9. Для квазилинейного уравнения Хопфа.

рассмотрим решение с начальными и краевыми условиями и (0, t) = а,

При этих условиях из точки Хц выходят две характеристики, образующие сектор, где решение неединственно (рис. 10.6).

Рис. 10.6. К заданию 10.9.

С физической точки зрения такая ситуация недопустима. Прием с размазыванием разрыва в данном случае не помогает. В предположении, что в данной ситуации реализуется решение с разрывом, движущимся с постоянной скоростью Д найдите скорость движения разрыва.

10.10. Покажите, что для нелинейного уравнения Хопфа.

использование неконсервативной схемы.

для расчета распада сильного разрыва.

при параметрах сетки т = h/b приводит к неверной скорости разрыва D = /г/т = b Ф Ф (а + Ъ)/2.

• 10.11. Покажите, что консервативные схемы, построенные на основе использования дивергентной формы уравнения Хопфа, обладают тем свойством, что суммирование интегральных законов сохранения по всем ячейкам разностной сетки приводит к результату, который можно интерпретировать как интегрирование закона сохранения, но всей расчетной области.
• 10.12. Покажите, что разностные схемы типа «предиктор — корректор» Лакса — Вендроффа и Мак-Кормака, аппроксимирующие квазилинейное уравнение

совпадают в линейном случае / = аи, а = const. Исследуйте полученную линейную схему на сходимость в этом случае.

10.13. Для нелинейного дифференциального уравнения.

с начальным условием и (х, 0) = и₀(х) постройте гибридную разностную схему, укажите шаблон разностной схемы, исследуйте ее на устойчивость.

10.14. Дана схема для решения квазилинейного уравнения переноса.

Г, _ fjli fn _ ft} ;у _ jyW fn _ fn.

предиктор ——— + ^J'" ^{+ Jm} = 0, ^Ут~' ^Ут + = 0,.

x h x h

Vm⁺¹-0,5 (yl+y_m) frn~fm- л Г ^ корректор—- _ J _____

• а) Нарисуйте шаблон заданной разностной схемы.
• б) Получите условие устойчивости и порядок аппроксимации в линейном случае f=au, а = const.