Прямое произведение множеств

Прямым (или декартовым) произведением множеств X и Y называется множество, обозначаемое X х Y и состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар (двухкомпонентных кортежей), первая компонента которых принадлежит множеству X, а вторая принадлежит множеству Y.

Таким образом, элементами прямого произведения являются пары вида (х, у). Формальное определение:

Пример 1.24.

ПустьX = {1, 2}, Y = {1, 3, 4}. НайтиX х Y.

Решение. Хх У = {(1,1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)}. Геометрическая иллюстрация этого множества приведена на рис. 1.6, а. Элементы Хх Y — это пары координат точек, находящихся на пересечении пунктирных линий.

Рис. 7.6. Геометрическая иллюстрация прямого произведения множеств ?

Пример 1.25.

Пусть Х= [1,3]; У= [1,2]. Найти Хх У.

Решение. Множества X и У представляют собой подмножества R, а именно отрезки, каждый из которых содержит бесконечное количество элементов.

Следовательно, и пар элементов Хх Y бесконечное количество и перечислить их все невозможно. Ответ записывается в следующем виде:

При решении аналогичных примеров ответ часто предпочитают для наглядности представлять в графическом виде. Прямое произведение Xх Yизобразится заштрихованным прямоугольником на рис. 1.6, б. То есть пара координат любой точки этого прямоугольника является элементом прямого произведения Хх У. ?

Из определения прямого произведения и последнего примера очевидно, что свойства прямого произведения отличаются от свойств обычного произведения в арифметическом смысле. В частности, прямое произведение изменяется при изменении порядка сомножителей, т. е. не выполняется коммутативность.

Если R — множество действительных чисел, то представляет собой координатную плоскость, а.

представляет собой трехмерное действительное пространство.

По аналогии с введенной операцией проецирования кортежа можно ввести операцию проецирования множеств, которая может применяться лишь к тем множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины.

Пусть М — множество, состоящее из кортежей длины п. Тогда проекцией множества М на какую-то компоненту (или совокупность нескольких компонент) будем называть множество проекций кортежей из М на эту компоненту (совокупность компонент).

Пример 1.26.

Пусть М = {(1, 2, 3, 4, 5), (2,1, 3, 5, 5), (3, 3, 3, 3, 3), (3, 2, 3, 4, 3)}. Найти Пр₂ М и Пр_2А М.

Решение. Пр₂М= {2,1, 3}. Пр₂₄М= {(2, 4), (1, 5), (3, 3)}. ?

Легко проверить, что если М = X х У, то