Корреляционный анализ экономических показателей

Построение матрицы парных коэффициентов корреляции

Парные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между двумя выбранными переменными на фоне действия остальных показателей и являются самыми распространёнными показателями тесноты связи при статистическом анализе данных.

Отдельный выборочный коэффициент корреляции r_ij между двумя выбранными признаками X_i и X_j в Excel можно вычислить с помощью встроенных статистических функций КОРРЕЛ или ПИРСОН. Расчёт матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции осуществляется в Excel с помощью пакета анализа данных. Елисеева И. И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И. И. Елисеева, М. М. Юзбашев; под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2006. — с. 106.

Итак, получаем матрицу парных коэффициентов корреляции размерности kЧk (в нашем случае 5Ч5).

Таблица 2. Матрица парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей.

Теперь необходимо проверить значимость полученных коэффициентов корреляции, то есть гипотезу H₀: с=0. Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистик для всех коэффициентов по формуле:

и построим матрицу наблюдаемыx значений t-статистик для всех коэффициентов r_ij (таблица 3).

Наблюдаемые значения t-статистик необходимо сравнить с критическим значением t_кр, найденным для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы н=n-2.

Для этого используем встроенную функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР, введя в предложенное меню вероятность б=0,05 и число степеней свободы н=n-2=50−2=48.

Можно найти значения t_кр по таблицам математической статистики. Получаем t_кр= 2,10 635.

Таблица 3. Матрица наблюдаемыx значений t-статистик парных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей.

По результатам, представленным в таблице 3, наблюдаемое значение t-статистики больше критического t_кр по модулю для парных коэффициентов корреляции. Следовательно, гипотеза о равенстве нулю этих коэффициентов отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05, то есть соответствующие коэффициенты значимы.

Для остальных коэффициентов наблюдаемое значение t-статистики меньше критического значения по модулю, следовательно, гипотеза H₀ не отвергается, и это значит, что коэффициенты — незначимы.

Для проверки значимости парных коэффициентов корреляции можно также воспользоваться таблицами Фишера-Иейтса для нахождения критического значения r_кр для уровня значимости б=0,05 и числа степеней свободы н=n-2=50−2=48.

По таблице r_кр (б=0,05; н=48)=0,273.

Если соответствующий коэффициент |r_ij|>r_кр, то он считается значимым. Отметим в матрице парных коэффициентов корреляции значимые.

Таблица 4. Матрица парных коэффициентов корреляции исследуемых показателей с выделением значимых коэффициентов (при б=0,05).

Алгоритм построения интервальной оценки для генерального коэффициента корреляции следующий: Елисеева И. И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И. И. Елисеева, М. М. Юзбашев; под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2006. — с. 167.

1). Z_r По найденному выборочному коэффициенту корреляции r с помощью Z-преобразования Фишера находят соответствующее значение Z_r, являющееся гиперболическим арктангенсом r:

Для этого в Excel есть встроенная функция ATANH, где в качестве аргумента вводится значение соответствующего выборочного коэффициента корреляции r. Следует учитывать, что Z-функция — нечетная, т. е. Z (-r)= - Z®. Можно найти значение Z_r и по таблице Z-преобразования Фишера.

2). ДZ Найдём значение t_г, соответствующее заданной надёжности г=0,95. — значение функции Лапласа.

Для нахождения значения t_г можно использовать встроенную функцию Excel НОРМСТОБР. Необходимо заметить, что Excel с помощью функции НОРМСТОБР выдаёт не значения функции Лапласа, а значение функции распределения стандартного нормального закона F (t):

.

Поэтому при расчёте всех интервальных оценок нужно пересчитывать г=0,95 в, а по этому значению уже вычислять t.

В нашем случае для надёжности г=0,95: F (t)=0,975; t_г =1,959 964.

Находим.

3). Z_min и Z_max Теперь можно найти Z_min и Z_max:

Z_min = Z_r — ДZ; Z_max= Z_r + ДZ.

4). с_min и с_max Наконец, использовав обратное преобразование Фишера, находят нижнюю и верхнюю границы для генерального коэффициента корреляции с_min и с_max, соответствующие Z_min и Z_max.

Соответствующие значения с_min и с_max являются гиперболическими тангенсами Z_min и Z_max:

.

Для их нахождения в Excel используем встроенную функцию TANH, введя в качестве аргумента значения соответствующих Z_min и Z_max. Можно найти значения с_min и с_max и по таблице Z-преобразования Фишера.

Построим с надёжностью г=0,95 и с учётом найденного доверительные интервалы для всех значимых парных коэффициентов корреляции, полученных нами. Расчёты представим в виде таблицы.

Таблица 5. Расчёт доверительных интервалов для парных генеральных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей с надёжностью г=0,95.

Таким образом, доверительные интервалы с надёжностью г=0,95 для всех значимых парных генеральных коэффициентов корреляции выглядят следующим образом:

P (-0,507 405? с_YX8? 0,811 364)=0,95.

P (0,197 271? с_YX10? 0,6479)=0,95.

P (-0,55 343? с_YX15? -0,5 149)=0,95.

P (-0,55 733? с_X8X15? -0,5 711)=0,95.

P (-0,6251? с_X8X16? -0,16 015)=0,95.

P (0,601? с_X10X16? 0,517 106)=0,95.

По полученным данным можно сделать следующие выводы:

Между исследуемыми показателями выявлены значимые корреляционные зависимости.

• 1) Значимая корреляционная прямая взаимосвязь обнаружена между изучаемым признаком Y — рентабельностью и факторными признаками X₈ — премиями и вознаграждениями на одного работника и X₁₀ — фондоотдачей.
• 2) Между рентабельностью (Y) и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств (X₁₅) существует обратная умеренная связь.
• 3) Более умеренная обратная связь существует между факторным признаком X₈ — премиями и вознаграждениями на одного работника и факторными признаками X₁₅ — оборачиваемостью нормируемых оборотных средств и X₁₆ — оборачиваемостью ненормируемых оборотных средств.
• 4) Так же умеренная прямая взаимосвязь обнаружена между X₁₀ — фондоотдачей и X₁₆ — оборачиваемостью ненормируемых оборотных средств.