Моделирование информационного базиса СДО с использованием цепей Маркова

В соответствии с принятым формализмом цепей Маркова, освоение информационного базиса может рассматриваться как динамическая система, находящаяся в каждый из моментов — в одном из п состояний:

Переменная, определяет номер шага в формирования структурыТ.

Основное дoпущение, принятое в теории цепей Маркова-независимость вероятностей перехода из одного состояния в другое от предыстории процесса, т. е. состояния изменяются со временем случайным образом. Это изменение определяется матрицей переходных вероятностей.

…

p11(tk) p12(tk) … p1(tk).

p21(tk) p22(tk) … p2(tk).

… … … … …

p (tk) p (tk) … p (tk) (2.1).

Каждый элемент матрицы показывает вероятность того, что если система в момент tk находилась в состоянии Si, то в момент tk+1 она окажется в состоянии Sj: .

Каждая строчка матрицы Р соответствует состоянию, в кoтopoм процесс находится нa данном шаге, а каждый столбец — состоянию, в которое переходит процесс в следующем шаге.

Процесс случайного перехода системы из одного состояния в другоеназывают цепью Маркова.

Переходы во все возможные состояния (в том числе в себя) образуют полную группу событий, поэтому для всех i=1,…, n,.

В дальнейшем предполагается, что вероятности не зависят от времени, т. е.цепь Маркова однородна.

Пусть вектор-строка X (tk)=[x1(tk),., ХN (tk)] - описывает распределение вероятностей нахождения системы в соответствующих состояниях в момент tk, то есть xi (tk) — это вероятность того, что в момент tk система находится в состоянии Si. При этом. Тогда по теореме об умножении вероятностей и с учетом основного свойства Марковского процесса получим:

где pij (tk) выступают в роли условных вероятностей перехода в состояние Sj, при условии, что система находится в состоянии Si.

В матрично-векторной форме (2.2) примет вид:

X (tk+l)=X (tk)P (2.3).

Должно также быть заданным начальное условие: X (t0)=X0, которое определяет состояние процесса на начальном шаге формирования информационного базиса.

Вычисляя последовательно X (tl), X (t2),…, X (tk) мы можем получить вероятностный прогноз графика построение системы базиса.

Множество состояний системы S подразделяется на множество невозвратных состояний и множество поглощающих состояний S2. Состояния, относящиеся к множеству S2, соответствуют завершению процесса. Поэтому, исключив из матрицы Р строки и столбцы, соответствующие состояниям из, и, обозначив оставшуюся матрицу Q, можем вычислить так называемую фундаментальную матрицу цепи Маркова:

(2.4).

где I-единичная матрица.

Каждый элемент матрицы N представляют coбoй среднее число пребываний процесса в состоянии Si при старте из состояния Si. В нашем случае старт всегда происходит из состояния Ss, поэтому достаточно рассматривать только первую строку матрицы N.

Зная, можно вычислить среднюю трудоемкость формирования структуры частотного словаря по формуле:

(2.5).

где — трудоемкость j-го шага процесса освоения информационного базиса УMM в часах.

В ряде случаев освоения ИБ УMM разработчика может интересовать оценка дисперсии трудоемкости курса. Для этой цели вычисляется матрица дисперсий числа пребываний процесса во множестве невозвратных состояний по формуле:

(2.6).

где индексы dg и sq обозначают соответственно выделение диагональных элементов матрицы N и возведение в квадрат каждого элемента этой матрицы.

Если исследователя интересует не дисперсия, а среднеквадратичное отклонение числа пребываний процесса от среднего, которое вычисляется по известной формуле:

или в матричной форме:

(2.7).

Рассмотрим модель динамики освоения информационного базиса интерактивного курса на основе цепей Маркова с дискретным временем. Представление процесса формирования базиса в виде цепи Маркова основано на ряде допущений. Кроме указанного выше основного допущения приняты следующие: допущение об однородности цепи Маркова (т.е. о независимости вероятностей от времени); о независимости трудоемкости шага формирования информационно — терминологического базиса от числа обращений к нему; о строгом следовании предписанному порядку выполнения шагов формирования информационного базиса.

В настоящей работе внимание сосредоточено на изучении отдельного ИБ для УММ интерактивной обучающей технологии. Предлагаемая в работе методика позволяет вычислить следующие оценки:

— распределение вероятностей прохождения различные наборов блоковинтерактивного курса студентом за заданное число шагов;

распределение вероятностей различных вариантом завершенияпроцесса интерактивного обучения, если такая возможность предусмотрена;

средняя трудоемкость освоения информационного базиса УММ;

дисперсия трудоемкости освоении ИБ.

Кроме того, возможны более тонкие исследования блочно-модульной структуры ИБ курса интерактивного обучения, например, зависимость общей трудоемкости прохождения курса от степени дробления его ИБ УММ на блоки и сборки их в модули УММ.

Исходная информация для модели включает список узлов (шагов процесса интерактивного обучения), граф связи между ними, матрицу вероятностей перехода от узла к узлу и оценку средней трудоемкости каждого шага. Список шагов процесса формирования информационного базиса, трудоемкости их выполнений в часах и связи между ними определяются, как правило, рабочей программой курса (например, для ВУЗов).

Вероятности переходов могут первоначально оцениваться преподавателем экспертно на основе опыта работы с данным обучающим курсом и контингентом учащихся, а впоследствии уточняться по результатам оценки блочно-модульной структуры информационного базиса УММ на основе собранных статистических данных. То же касается и оценок трудоемкости отдельных шагов освоения ИБ интерактивного курса.