Π Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ
Π§ΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΉ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π² 60-Ρ Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ XX Π²Π΅ΠΊΠ°. Π Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ . Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π»Π° Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π. ΠΠ΅ΡΠΆΠ΅, Π. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ Π. ΠΠ°Π·Π΅. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
- 1. ΠΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ Π½Π° ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ
- 1. 1. ΠΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
- 1. 2. ΠΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ
- 2. ΠΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ
- 2. 1. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΊ
- 2. 2. ΠΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ . ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
- 2. 3. Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ
- 2. 4. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ°
- 2. 5. ΠΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ
Π Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ°ΡΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ, Π = —divV (1) ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ°.
L = —divV-fΡ (2) Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°.
Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π³Π°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½ΠΈΠ°Π½ — ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠΎΠΏΡΡΠΆΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ Π² Π³ΠΈΠ»ΡΠ±Π΅ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. Π’ΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ Π³Π°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½ΠΈΠ°Π½Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅.
Π Rn Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΎΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π±ΡΠ»Π° Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π°Π²ΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π. Π. ΠΠ°ΠΉΠΌΠ°ΡΠΊΠ° [27] ΠΈ Π. Π. ΠΠ»Π°Π·ΠΌΠ°Π½Π° [9]. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΡΠΌΠ° — ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ Π² R1, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ A.M. ΠΠΎΠ»ΡΠ°Π½ΠΎΠ²Ρ [25], Π. Π‘. ΠΠ°ΡΡ ΠΈ Π. Π. ΠΡΠ΅ΠΉΠ½Ρ [16] — ΡΡΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠ² ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΈΡ ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
Π§ΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΉ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π² 60-Ρ Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ XX Π²Π΅ΠΊΠ°. Π Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ . Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π»Π° Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π. ΠΠ΅ΡΠΆΠ΅, Π. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ Π. ΠΠ°Π·Π΅ [3]. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ Π»Π°ΠΏΠ»Π°ΡΠΈΠ°Π½Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ΅Π½, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊ 70-ΠΌ Π³ΠΎΠ΄Π°ΠΌ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ.
β’ Π₯.Π. ΠΠ°ΠΊΠΠΈΠ½ [23], Π‘. Π’. Π―Ρ [49] ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΡ ΠΈΠ½ΡΠΈ-ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³Π°ΡΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, Π²Π΅ΡΡ Π½ΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» Π‘. Π―. Π§Π΅Π½Π³ [45].
β’ Π. ΠΠΈΠ½ΡΠΊΠΈ [28] ΡΠΊΠ°Π·Π°Π» Π΄Π²ΡΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³Π°ΡΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΉ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΠ»ΠΈ X. ΠΠΎΠ½Π½Π΅Π»Π»ΠΈ ΠΈ Π. ΠΠΈ [12].
β’ Π. ΠΡΠ»Π»Π΅Ρ [26] ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π» ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅.
β’ Π. ΠΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ [2] Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΌΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
β’ Π . ΠΡΡΠΊΡ [5], [6] ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» Π΄Π²ΡΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³ΡΠ°Π½ΠΈ Aqss Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°. ΠΠ· ΡΡΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΈ. ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π . ΠΡΡΠΊΡΠ° ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠ΅ΠΌ.
β’ Π. Π. ΠΠΎΠ½Π΄ΡΠ°ΡΡΠ΅Π², Π. Π. Π¨ΡΠ±ΠΈΠ½ [17] Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.
β’ Π. Π¨Π΅Π½ [48] ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΆΡΡΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π½Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ (ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅, Π²ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΠΌ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ Π ΠΈΡΡΠΈ) ΠΈ ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π». ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ.
ΠΠΎ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π¦Π΅Π»ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ . Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ:
1. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ . Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ Π. ΠΠ΅ΠΉ-Π΄Π΅ΡΠ° [2] Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ.
2. ΠΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ° ΠΈ ΡΠΌΠΊΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΈ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΉ.
3. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»ΡΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ Π½Π° ΠΈΡ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
4. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ², Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠΎΡΡΠΈΠΉΡΠΊΠΈΡ ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°ΡΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡ : ΠΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Π΅-ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ «ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ» (ΠΠ°Π·Π°Π½Ρ, 2001), 11-ΠΉ Π‘Π°ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ Π·ΠΈΠΌΠ½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Π΅ «Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ» (Π‘Π°ΡΠ°ΡΠΎΠ², 2002), ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ-ΡΠΊΠΎΠ»Π΅ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ, ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ Π. Π. ΠΠ»Π΅ΠΊΡΠ°Π½Π΄ΡΠΎΠ²Π° (ΠΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ±ΠΈΡΡΠΊ, 2002), ΠΠ°Π·Π°Π½ΡΠΊΠΎΠΉ Π»Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Π΅-ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ «Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ» (ΠΠ°Π·Π°Π½Ρ, 2003), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π° Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ (2001;2003Π³Π³.) ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΡΡΠΊΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π° ΠΠΎΠ»ΠΠ£ (2001;2004Π³Π³.). ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π° Π½Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ «ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ» ΠΊΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΡ ΠΠΠ’Π€ ΠΠΎΠ»ΠΠ£ (ΡΡΠΊ. Π΄.Ρ.-ΠΌ.Π½. Π. Π. ΠΠΎΡΠ΅Π² ΠΈ Π΄.Ρ.-ΠΌ.Π½. Π.Π. ΠΠΈΠΊΠ»ΡΠΊΠΎΠ²).
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΡΡΠΊΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π°, Π°ΡΠΏΠΈΡΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΠΎΠ»ΠΠ£ (2001Π³.), ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π° Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠΎΠΌ I ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° «ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°» ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΎΠ΅Π½Π° ΠΏΠΎΠΎΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅ΠΌΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ «Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°» Π½Π° VI ΡΠ΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ (2001Π³.) — ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° «Π ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ» Π½Π°Π³ΡΠ°ΠΆΠ΄Π΅Π½Π° Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠΎΠΌ Π·Π° Π»ΡΡΡΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ Π½Π° «ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ — 2001" — ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΡΡ Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΡΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΠΠ‘ ΠΠΎΠ»ΠΠ£ (2002Π³.), ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π° Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠΎΠΌ II ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° «ΠΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°» Π½Π° VII Π Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ (2002Π³.) ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΎΠ΅Π½Π° Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ° I ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° «Π Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ°», ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΡΡ Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΡΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΠΠ‘ ΠΠΎΠ»ΠΠ£ (2003Π³.), ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ «ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°» Π½Π°Π³ΡΠ°ΠΆΠ΄Π΅Π½Π° Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠΎΠΌ I ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ Π°Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ Π² Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡ ΠΏΠΎ Π³ΡΠ°Π½ΡΡ Π Π€Π€Π ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡ № 03−01−304.
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ 90 ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π³Π»Π°Π². ΠΠ»Π°Π²Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΡΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ. Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΡΡΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅. ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΠ², ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠ΅ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ.
1. ΠΠ³ΠΌΠΎΠ½ Π‘. (Agmon S.) Lectures on elliptic boundary value problems — Van Nostrand, 1965. — 242p.
2. ΠΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ A. (Baider A.) Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J.Diff.Geom. 1979 — V. 14 — p. 41−57.
3. ΠΠ΅ΡΠΆΠ΅ M., ΠΠΎΠ΄ΡΡΠΎΠ½ Π., ΠΠ°Π·Π΅ E. (Berger M., Gauduchon P., Mazet E.) Le spectre d’une variete Riemannienne Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971. — 251p. — (Lecture Notes in Math.- V. 194).
4. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π² Π. Π., Π ΡΠΊΠ½Π΅Ρ Π. ΠΠ± LP-Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ // ΠΠ°Ρ. ΡΠ±. 2003 — Ρ. 194, № 7 — Ρ. 15−24.
5. ΠΡΡΠΊΡ P. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian 11 Math. Z. 1981 — V. 178 — p. 501−508.
6. ΠΡΡΠΊΡ P. (Brooks R.) On the spectrum of non-compact manifolds with finite volume // Math. Z. 1984 — V. 187 — p. 425−432.
7. ΠΠ°ΡΠ½ΠΈ M. (Gaffney M.) The harmonic operator for exterior differential forms // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1951 — V. 37 -p. 48−50.
8. ΠΠΈΠ»Π±Π°ΡΠ³ Π., Π’ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅Ρ M. ΠΠ»Π»ΠΈΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°: ΠΏΠ΅Ρ. Ρ Π°Π½Π³Π». Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1989. — 464Ρ.
9. ΠΠ»Π°Π·ΠΌΠ°Π½ Π. Π. ΠΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΠΈΠ½Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² -* Π.: Π€ΠΈΠ·ΠΌΠ°ΡΠ³ΠΈΠ·, 1963. 339Ρ.
10. ΠΡΠΈΠ³ΠΎΡΡΡΠ½ Π. Π. Π ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ // ΠΠ°Ρ. ΡΠ±. -1985 Π’. 128, № 3 — Ρ. 354−363.
11. ΠΡΠΈΠ³ΠΎΡΡΡΠ½ A.A. (Grigor'yan A.A.) Analytic and geometricbackground of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bulletin of Amer.Math.Soc. -1999 V. 36 — p. 135−249.
12. ΠΠΎΠ½Π½Π΅Π»Π»ΠΈ X., ΠΠΈ Π. (Donnelly H., Li P.) Pure point spectrum and negative curvature for non-compact manifolds / f Duke Math.J. -1979 V. 46 — p. 497−503.
13. ΠΠΎΠ½ΡΠΊΠ΅Ρ Π. Π., ΠΠ°ΡΠ°Π΄Ρ Π°Π½ C.P.C. (Donsker M.D., Varadhan S.R.S.) On variational formula for principal eigenvalue for operators with maximum principle // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1975 — V. 72 -p. 780−783.
14. ΠΡΠ²Π°ΠΉΡ E. B.(Davies E. B.) L1 properties of second order elliptic Ρ operators // Bull. London Math. Soc. 1985. — V. 17, N 5.p. 417−436.
15. ΠΠΎΡΠΈΠ΄Π° Π. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π.: ΠΠΈΡ, 1967. — 430 Ρ.
16. ΠΠ°Ρ Π. Π‘., ΠΡΠ΅ΠΉΠ½ Π. Π. ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΡΠΈΠ½Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠ½Ρ // ΠΠ·Π².Π²ΡΠ·ΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° 1958 — № 2(3) -Ρ. 136−153.
17. ΠΠΎΠ½Π΄ΡΠ°ΡΡΠ΅Π² Π. Π., Π¨ΡΠ±ΠΈΠ½ Π. Π. (Kondratev V., Subin Π.) Discreteness of spectrum for the Schrodinger operators onmanifolds of bounded geometry Operator theory: Advances and Applications — 1999 — V. 110 — p. 185−226.
18. ΠΡΠ·ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ² Π. Π., Π¨Π²Π΅Π΄ΠΎΠ² Π. Π. Π Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΈΡΠΊΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ // Π‘ΠΈΠ±. ΠΌΠ°Ρ. ΠΆΡΡΠ½. 1996 — Π’. 37, № 2. -Ρ. 324−337.
19. ΠΠ΅Π²ΠΈΡΠ°Π½ Π. Π., Π‘Π°ΡΠ³ΡΡΠ½ Π. Π‘. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ Π¨ΡΡΡΠΌΠ°-ΠΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Ρ ΠΈΠΠΈΡΠ°ΠΊΠ° Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1988. — 432Ρ.
20. ΠΠΎΡΠ΅Π² Π. Π. Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π»ΠΈΡΠ²ΠΈΠ»Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ // Π‘ΠΈΠ±. ΠΌΠ°Ρ. ΠΆΡΡΠ½. 1998 -Ρ. 39, № 1. — Ρ. 87−93.
21. ΠΠΎΡΠ΅Π² Π. Π. Π‘ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎ-Ρ Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ // Π’ΡΡΠ΄Ρ ΠΊΠ°Ρ. ΠΌΠ°Ρ. Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΡ. ΡΠ½-ΡΠ°. ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ ΠΠ·Π΄-Π²ΠΎ ΠΠΎΠ»ΠΠ£, 2002. — Ρ. 94−124.
22. ΠΠΎΡΠ΅Π² Π. Π., ΠΠ°Π·Π΅ΠΏΠ° Π. Π. ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ // ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· 2001 — Ρ. 13, Π²ΡΠΏ. 1 — Ρ. 84−110.
23. ΠΠ°ΠΊΠΠΈΠ½ Π₯.Π. (McKean Π.Π .) An upper bound for the spectrum ofΠ on a manifold of negative curvature // J.Diff.Geom. 1970 -V. 4 — p. 359−366.
24. ΠΠΈΠ·ΠΎΡ Π°ΡΠ° Π‘. Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ: ΠΏΠ΅Ρ. Ρ ΡΠΏΠΎΠ½. Π.: ΠΠΈΡ, 1977. — 504Ρ.
25. ΠΠΎΠ»ΡΠ°Π½ΠΎΠ² A.M. ΠΠ± ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΡΠΎΠΏΡΡΠΆΡΠ½Π½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° // Π’ΡΡΠ΄Ρ ΠΠΎΡΠΊ.ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ.ΠΠ±-Π²Π° 1953 — № 2 — Ρ. 169−200.
26. ΠΡΠ»Π»Π΅Ρ Π. (Muller W.) Spectral theory for Riemannian manifolds with cusps and a related trace formula // Math.Nachr. 1983V. Ill p. 197−288.
27. ΠΠΎΠ·Π½ΡΠΊ Π. Π., Π¨ΠΈΠΊΠΈΠ½ E.B. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡΠ²ΠΎ. Π.: ΠΠ·Π΄-Π²ΠΎ ΠΠΠ£, 1990. — 384Ρ.
28. Π ΠΈΠ΄ Π., Π‘Π°ΠΉΠΌΠΎΠ½ Π. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡ Π·ΠΈΠΊΠΈ: Π’. 1. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, ΠΏΠ΅Ρ. Ρ Π°Π½Π³Π».: Π² 4 Ρ.Π.: ΠΠΈΡ, 1977. 360Ρ.
29. Π ΠΈΠ΄ Π., Π‘Π°ΠΉΠΌΠΎΠ½ Π. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ: Π’. 2. ΠΠ°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΠΎΠΏΡΡΠΆΡΠ½Π½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅Ρ. Ρ Π°Π½Π³Π».: Π² 4 Ρ. Π.: ΠΠΈΡ, 1978. — 400Ρ.
30. Π‘Π°Π΄ΠΎΠ²Π½ΠΈΡΠΈΠΉ Π. Π. Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠΎΠ² Π.: ΠΡΠΎΡΠ°, 2001. — 384Ρ.
31. Π‘Π°ΠΉΠΌΠΎΠ½ Π. (Simon Π.) Essential self-adjointness of Schrddingeroperators with singular potentials // Arch. Rational Mech.Anal. -1973 V. 52 — p. 44−48.
32. Π‘Π°Π»ΠΎΡ-ΠΠΎΡΡΠ΅ Jl. (Saloff-Coste L.) Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1992. No 36, p. 417−450.
33. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. Π ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ // Π’ΡΡΠ΄Ρ ΠΌΠ°Ρ. ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° ΠΈΠΌ. Π. Π. ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ. Π’. 12 (ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ 2001) // ΠΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°ΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ-ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ — ΠΠ°Π·Π°Π½Ρ, 2001. — Ρ. 57−58.
34. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° —ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ // Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π’Π΅Π·ΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠ² 11-ΠΉ Π‘Π°ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ Π·ΠΈΠΌΠ½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ. Π‘Π°ΡΠ°ΡΠΎΠ², 2002. — Ρ. 188−189.
35. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ± ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° // ΠΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°ΡΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡ-ΡΠΊΠΎΠ»Π° ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ, ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ Π. Π. ΠΠ»Π΅ΠΊΡΠ°Π½Π΄ΡΠΎΠ²Π°: Π’Π΅Π·. Π΄ΠΎΠΊΠ». ΠΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ±ΠΈΡΡΠΊ, 2002. — Ρ. 65−66.
36. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°-ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ // Π‘ΠΈΠ±. ΠΌΠ°Ρ. ΠΆ. 2002 — Π’. 43, № 6 — Π‘. 1362−1371.
37. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π€ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ // ΠΠ΅ΡΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠΎΠ»ΠΠ£. Π‘Π΅ΡΠΈΡ 1: ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° 2002 — Π²ΡΠΏ. 7 — Ρ. 12−19.
38. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. Π Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° // Π’ΡΡΠ΄Ρ ΠΌΠ°Ρ. ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° ΠΈΠΌ. Π. Π. ΠΠΎΠ±Π°ΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ. Π’. 19 (Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ) // ΠΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Ρ ΠΠ°Π·Π°Π½ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°ΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ-ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π·Π°Π½Ρ, 2003. Ρ. 192−193.
39. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π¨ΡΡΠ΄ΠΈΠ½Π³Π΅ΡΠ° // Π’ΡΡΠ΄Ρ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ. ΠΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ±ΠΈΡΡΠΊ. -ΠΠ·Π΄-Π²ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ. ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ 2003 — Ρ. 376−383.
40. Π‘Π²Π΅ΡΠ»ΠΎΠ² Π. Π. Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ° — ΠΠ΅Π»ΡΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ // ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π΅Π·. Π΄ΠΎΠΊΠ». ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ½Π°Ρ. ΡΠΊ.-ΠΊΠΎΠ½Ρ. ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄, 2004. -Ρ. 162−163.
41. Π¨Π΅Ρ ΡΠ΅Ρ M. (Schechter M.) Spectra of partial differential operators Amsterdam: North-Holland, 1971. — 295p.
42. Π¨Π΅Π½ Π. (Shen Z.) The spectrum of Schrodinger operatorswith positive potentials in Riemannian manifolds // Proc. of Amer.Math.Soc. 2003 — V. 131, N. 11 — p. 3447−3456.
43. Π―Ρ Π‘. Π’. (Yau S.T.) Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a complete Riemannian manifold // Ann.Sci.Ecole Norm.Sup. -1975 V. (4) 8 — p. 487−507.