Локальные поля и когерентные пучки на алгебраических кривых и поверхностях

Настоящая работа посвящена применениям многомерных локальных полей и методов, связанных с ними, к построению и изучению локальных и глобальных конструкций, связанных с пучками if-функторов и квазикогерентными пучками на алгебраических многообразиях.

Локальные поля естетственно возникают в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.

Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом веке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поле рядов Лорана C ((z)), элементы которого возникают при разложении мероморфных функций на Ри-мановой поверхности в ряд по локальному параметру z в аналитической окрестности точки, и поле^{-адических} чисел Qp, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел Q по неархимедову р-адическому нормированию.

Сейчас мы говорим, что 1-мерное локальное поле — это поле частных полного кольца дискретного нормирования.

Объектом, связывающим локальные и глобальные свойства алгебраических чисел послужило кольцо аделей, которое определяется как ограниченное топологическое произведение полей р-адических чисел по всем нормированиям поля рациональных чисел. Само поле рациональных чисел вкладывается диагональным образом в кольцо аделей. При помощи кольца аделей были описаны абелевы части групп Галуа полей алгебраических чисел. (См. по этому поводу [8].).

С другой стороны, прямым обобщением полей алгебраических чисел являются поля функций, возникающих из кривых над конечными полями. Вспоминая также пример рядов Лорана из римановых поверхностей, можно в более общей ситуации построить одномерное локальное поле по точке на произвольной алгебраической кривой над произвольным полем (или в еще более общей ситуации: на схемах размерности 1), как поле частных пополнения локального кольца точки этой кривой (или схемы) по максимальному идеалу. См. описание и применения этого в [19].

В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило в двух направлениях. С одной стороны, это применения в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричевера-Сато-Вилсона на кривой, а с другой стороны — это появление теории многомерных локальных полей для алгебраических схем размерности больше, чем 1. Остановимся на этих темах более подробно, так как это связано с результатами данной работы.

Суть конструкции Кричевера в следующем. (См. [9], [7], [20], [36], [43].) Мы выделяем и фиксируем одну точку на проективной кривой над полем к и локальный параметр в этой точке. Тогда в локальное поле этой точки k ((z)), как некоторое дискретное подкольцо, естественным образом отображаются функции на кривой, регулярные вне выделенной точки.

Более того, мы можем аналогичным образом отобразить расслоения ранга 1 на кривой с некоторыми дополнительными данными в некоторые дискретные подпространства локального поля выделенной точки. И обратно: зная подпространство-образ в k ((z)), можно однозначно восстановить исходные данные.

Более точно, пусть С — полная целая алгебраическая кривая над полем к, р — fe-рациональная неособая точка на этой кривой, J- — пучок без кручения ранга 1 на С (если кривая С не особа, то такой пучок всегда локально свободен), ер — три-виализация пучка Т в точке р, tp — локальный параметер в точке р. Тогда такой пятерке данных (С, р, ер, tp), которую мы далее будем называть квинтетом, можно канонически сопоставить подпростанство в 1-мерном локальном поле k ((z)). Это — отображение Кричевера. Отметим, что это отображение сразу же обобщается на квинтеты с пучками без кручения высших рангов.

Полученное подпространство будет иметь конечномерное над полем к пересечение с подкольцом (это пересечение канонически изоморфно нулевым когомоло-гиям пучка Т) и конечную коразмерность своего образа в &((z))/fc[[z|] (фактор последнего кольца по образу канонически изоморфен первым когомологиям пучка J-). Подпространства в k ((z)) с такими условиями называются фредгольмовыми. (Отметим, что их гораздо больше, чем подпространств — образов пучков). На множестве всех фредгольмовых подпространств можно ввести структуру бесконечномерного алгебраического многообразия, обобщающее конечномерное Грассманово многообразие. Полученное многообразие называется грассманианом Сато. (См. [45], [22], [18], [7].).

Отображение Кричевера и грассманиан Сато нашли многочисленные применения в теории интегрируемых систем (решение КП-иерархии, теория солитоннных уравнений, см. [7], [20]), в алгебраической геометрии (решение проблемы Шотки, пространства модулей кривых и расслоений, неабелевы т-функции, теория геометрического соответствия Ленглендса см. [7], [23], [24]), теории псевдодифференциальных операторов (описание коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов с регулярными коэффициентами, см. [36], [44], [7].).

С другой стороны, в середине 70-х А. Н. Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля ([14],[38], [28]). те-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, полем вычетов которого является п — 1-мерное локальное поле.

Один из типичных примеров такого поля — это поле итерированных рядов Лорана &((zi))((z2)). ((zn)). Элементы., zn называются локальными параметрами этого поля.

Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на 1-мерных схемах на случай многомерных схем. Рассмотрим алгебраическую схему X размерности п. Пусть Y0 D. D Yn — флаг замкнутых подсхем на X, так что Y0 = X, Yn = х — замкнутая точка на ж, Yi — коразмерности 1 в (1 < г < п), х — гладкая точка на всех Yi (0 < г < те). Тогда существует конструкция, являющаяся композицией пополнений и локализаций, сопоставляющая такому флагу каноническим способом га-мерное локальное поле. Более того, если X — алгебраическое многообразие над полем к, х — рациональная точка над полем к, и мы зафиксируем локальные параметры zi, z2,., zn € к (Х), так что = 0 — уравнение многообразия Yi на многообразии Yiв окрестности точки х (1 < i < те), то полученное те-мерное локальное поле можно отождествить с &((zi))((z2)) • • • ((-^п)) — ([38], [28]).

При помощи те-мерных локальных полей, ассоциированных с полными флагами на многообразиях, были обобщены со случая кривых на случай высших размерностей классическая формула о равенстве нулю суммы вычетов рациональной дифференциальной формы, классический закон взаимности Вейля на кривой ([19]). (В многомерной ситуации известный сейчас как закон взаимности Паршина-Ломадзе [14], [11], [15], [28]).

Для схем высшей размерности был определен аналог кольца аделей, являющегося подкольцом в произведении всех локальных полей, возникающих из полных флагов целых замкнутых подсхем (для случая поверхности А. Н. Паршиным и в общем случае А. А. Бейлинсоном). Более того, были построены многомерные адельные резольвенты для произвольных квазикогерентных пучков, сводящие вычисление когомоло-гий этих пучков к локальным (в схемном смысле) их составляющим. (См. [14], [2], [30], [31], [28].).

Конструкция многомерных аделей нашла применение для описания абелевых накрывающих арифметических схем и многообразий над конечными полями (высшая теория полей классов). При этом классические мультипликативные группы, используемые в 1-мерной теории полей классов, заменяются на высшие Кгруппы многомерных локальных полей. ([16], [15], [13], [28].).

Отметим также, что недавно появились работы [40], [41], [17], пытающиеся связать две стороны развития приложений локальных полей, описанные выше, и развивающие идеи, заложенные в соответствии Кричевера-Сато-Вилсона для кривых, на случай многообразий высшей размерности в духе теории многомерных локальных полей.

Перейдем теперь к структуре диссертации. Данная работа состоит из трех глав. Опишем краткое содержание и основные результаты каждой из глав.

В первой главе рассматривается проективный морфизм алгебраической поверхности X на алгебраическую кривую S, определенных над совершенным полем к. В этой ситуации, используя адельный язык на поверхности и на кривой, дается адель-ная интерпретация отображения Гизина (= морфизма прямого образа) в двух случаях: из Н*(Х,№х) в H^ls.Ql) (i = 1, 2), а также, если char к = 0 из Н*(Х, К2(Х)) в Hi-1(S, K1(S))(i = 1,2).

Здесь №х и О5 — пучки 2 и 1 регулярных дифференциалов на X и S соответственно, К2(Х) — пучок в топологии Зарисского на X, ассоциированный с предпучком {и K2(U)}, К2 — if-функтор Квиллена. В аналогичной манере определяется пучок Ki (S) на кривой S, который будет являться пучком обратимых функций 0 $.

В случае г = 2 построенное отображение для i^-функторов имеет явный геометрический смысл как морфизм прямого образа из группы Чжоу ноль-циклов поверхности X по модулю рациональной эквивалентности СН2(Х) в группу Чжоу 1-циклов на кривой CH1(S) (или, что тоже самое, в группу Пикара кривой).

Для построения этого морфизма мы в первом случае, используя хорошо известные адельные комплексы для когерентных пучков Q2X и fi^, получаем адельное представление групп Нг (Х, 0, х) и и, таким образом, сводим отображение Гизина к построению отображений прямых образов дифференциалов двумерных локальных полей в дифференциалы одномерных локальных полей.

Во втором случае строится^{-адельная} резольвента пучка К2(Х), квазиизоморфная резольвенте Герстена в iT-теории, (см. теорему 1.49) и, таким образом, отображение Гизина сводится к построению символов из двумерных локальных полей, ассоциированных с парами х € С С X (точка и неприводимая кривая через нее проходящая), в одномерные локальные поля, ассоциированные с дискретными нормированиями на кривой S. Для этих отображений доказываются относительные законы взаимности, связывающие хорошо известные законы взаимности на кривой и на поверхности.

Следует отметить, что в случае двумерного локального поля, ассоциированного с точкой и кривой, не совпадающей со слоем отображения из X в 5, построенный символ оказывается хорошо известным ручным символом. В случае же двумерного локального поля, ассоциированного с точкой и кривой, являющейся слоем отображения из X в S, ситуация сложнее. Существование искомого символа, без задания его явной формулой, было доказано К. Като (см. работу [34, § 1]). В данной работе в случае char к = О для этого символа предъявлена конкретная формула (см. теорему 1.28).

Все конструкции и доказательства в этой главе построены и проведены при помощи явных формул и не используют, в частности, высшую Квилленовскую К-теорию.

Во второй главе этой работы мы изучаем образы (полу) стабильных пучков без кручения ранга 2 на кривой в грассманиане Сато при отображении Кричевера квинтетов. {Т — пучок ранга 2.).

Мы даем описание образов квинтетов с (полу) стабильными пучками Jв терминах плюкеровых координат бесконечномерного грассманова многообразия.

Кроме того, мы частично описываем клетки в клеточном разбиении грассманиана Сато, точки которых полностью отвечают за (полу) стабильные пучки.

На грассманиане Сато естетсвенным образом действует группа SL (2,&[[.z]]). Мы вводим понятие полустабильных и стабильных точек на грассмане Сато относительно однопараметрических подгрупп, сопряженных с диагональной подгруппой: (А, А-1), А € к*. Это понятие аналогично классическому определению из геометрической теории инвариантов ([37]). После этого мы переформулируем полученное описание образов квинтетов с языка плюккеровых координат на язык действия од-нонараметрических подгрупп в виде следующей теоремы, являющейся аналогом аналогичной теоремы в конечномерной ситуации при построении пространств модулей векторных расслоений на кривых.

Теорема. Рассмотрим произвольный квинтет (C, p, J-, ep, tp). Тогда пучок Т (по-лу)стабилен тогда и только тогда, когда точка в грассмане Сато, являющаяся образом квинтета (С, р, Т, ep, tp) при отображении Кричевера, — (полу)стабильная точка относительно всех сопряженных подгрупп с диагональной подгруппой (Л, А-1), А 6 к* в группе SL (2,k[[z]]).

В третьей главе мы строим для многообразий произвольной размерности аналоги комплексов Кричевера для кривых, а также обобщаем соответствие (отображение) Кричевера на многообразия произвольной размерности. Для случая поверхности это было сделано А. Н. Паршиным в [41]. В процессе построения мы пользуемся методами работ [2], [30], [31].

Для произвольного квазикогерентного пучка Т на схеме X и флага Y0 D. ¦ D Yn замкнутых подсем на X мы строим комплекс абелевых групп Мы получаем следующую теорему.

Теорема. Пусть X — проективное алгебраическая схема размерности п над полем. Пусть Y0 D Yi D. D Yn — флаг замкнутых подсхем, так что Y0 = X, Y{ является обильным дивизором на схеме для любого 1 < i < п. Тогда для любого квазикогерентного пучка Т на X, для любого г: Нг (Х, Т) = Нг (А (Т)).

Отметим следующее: в условиях теоремы, а также, если дополнительно Yn есть замкнутая и гладкая точка на всех Yi (0 < г < п), Т — локально свободный пучок ранга 1, Yi являются дивизорами Картье на У- (1 < г < те), и X — равноразмерная схема Коена-Маколея, мы получим, что комплекс А (Т) будет являться комплексом подгрупп в те-мерном локальном поле.

Определим Мп =f {X, (Yi,., Y^), (zi,., zn), T, ey"}, где X — проективная равноразмерная схема Коена-Маколея размерности п над полем к, X = Yo D Yi Э. D Yn — флаг замкнутых подсхем, так что Yi является обильным дивизором Картье на схеме (1 < i < те), Yn — гладкая fc-рациональная точка на всех Yi (О < г < те), zi,., zn — формальные локальные параметры в точке Yn, так что |j = о) = Yi в формальной окрестности точки Yn на схеме Yi1? Т — векторное расслоение (= локально свободный пучок) ранга г на X, еуп — тривиа-лизация Т в формальной окрестности точки Yn на X.

В поле К = k ((zi)). ((zn)) имеем следующую фильтрацию.

K{m) = z™k{{z,)). [zn]]. Обозначим iT-пространство V = Кфг, и фильтрацию V (m) = К (т)®г.

Теорема. Существует каноническое отображение.

Фп: М. п —у {fc-век торные подпространства В С К, W С V} так что.

1. по подпространству В С К однозначно восстанавливается комплекс А{Ох), вычисляющий когомологии пучка Ох на.

2. по подпространству W С V однозначно восстанавливается комплекс A{!F), вычисляющий когомологии пучка Т на Х совпадает с отображением $ni- 5. Если q' 6 М-nr и Фп (?) = Фп (з')? то? изоморфно q'.

Результаты настоящей работы докладывались на семинаре А. Н. Паршина «Арифметическая алгебраическая геометрия» в МГУ, на Петербургском алгебраическом семинаре Д. К. Фаддеева в ПОМИ РАН, на международной конференции «Теория Галуа локальных и глобальных полей» (Санкт-Петербург, октябрь 1996), на международной алгебраической конференции памяти А. Г. Куроша (Москва, май- 1998), на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения JI. С. Понт-рягина (Москва, сентябрь 1998), на конференции «Высшая теория полей классов» (Мюнстер, Германия, август-сентябрь 1999).

Результаты диссертации опубликованы в работах [47], [48], [49], [50].

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Алексею Николаевичу Паршину за постановку многих задач, стимулирующие обсуждения и внимание к работе.

3. если (В, W) € Im Фп, то В • В С В, В • W С W;

4. для всех т отображение.

Оъ • • •, Уп), • • •, zn-i)Yl, ^(-ш^Ок, еу"(-то)|У1}.

1. М. Атья, И. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Москва, Мир, 1972.

2. А. А. Бейлинсон, Вычеты и адели, Функц. анализ и прил., т. 14, вып. 1 (1980), стр. 44−45.

3. С. Блох, Алгебраическая К-теория, мотивы и алгебраические циклы, в «Международный конгресс математиков в Киото 1990», Москва, Мир, 1996.4. 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Москва, Наука, 1985.

4. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Москва, Наука.

5. Р. Годеман, Алгебраическая топология и теория пучков, Москва, ИЛ, 1961.

6. Е. Е. Демидов, Иерархия Кадомцева-Петвиашвили и проблема Шотки, Независимый Московский Университет, Математический колледж, Москва, изд-во МК НМУД995.

7. Дж. Касселс, А. Фрёлих и др., Алгебраическая теория чисел, Москва, Мир, 1969.

8. И. М. Кричевер, Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений, УМН, 32 (1977), стр. 185−214.

9. В. Г. Ломадзе, Об индексе пересечения дивизоров, Изв. Акад. Наук СССР Сер. Мат. 44 (1980), стр. 1120−1130.

10. В. Г. Ломадзе, О вычетах в алгебраической геометрии, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1981, т. 45(6), стр. 1258−1287.

11. Дж. Милнор, Введение в алгебраическую К-теорию, Москва, Мир, 1974.

12. А. Н. Паршин, Поля классов и алгебраическая К-теория, Успехи Матем. Наук, т.30 (1975), стр. 253−254.

13. А. Н Паршин, К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1976, т. 40(4), стр. 736−773.

14. А. Н. Паршин, Абелевы накрывающие арифметических схем, ДАН СССР, т.243 (1978), стр. 855−858.

15. А. Н. Паршин, Локальная теория полей классов, Труды Матем. Инст. АН СССР, 165 (1984), стр. 143−170.

16. А. Н. Паршин, О кольце формальных псевдодифференциальных операторов, Труды МИР АН, т. 224, 1999, стр. 266−280- e-print math. AG/9 911 098.

17. Э. Прессли, Г. Сигал, Группы петель, Москва, Мир, 1990.

18. Ж.-П. Серр, Алгебраические группы и поля классов. Москва, Мир, 1968.

19. Г. Сигал, Дж. Вилсон, Группа петель и уравнения типа КдФ, дополнение к кн. Э. Прессли, Г. Сигал «Группы петель», Москва, Мир, 1990, стр. 379−442, (первоначально Publ. Math. IHES, 80 (1985), p. 301−342).

20. P. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Москва, Мир, 1981. /.

21. E. Arbarello, C. De Concini, V. G. Kac, C. Procesi, Moduli Spaces of Curves and Representation Theory, Comm. Math. Phys., 117 (1998), p. 1−36.

22. D. Ben-Zvi, E. Frenkel, Spectral curves, opers and integrable systems, e-preprint alg-geom/9 802 068.

23. C. Contou-Carrere, Jacobienne locale, groupe de bivecteurs de Witt universel, et symbole modere, C. R. Acad. Sci. Paris, serie I 318 (1994), p. 743−746.

24. P. Deligne, Le symbole modere, Publ. Math. IHES 73 (1991), p.147−181.

25. H. Esnault, E. Viehweg, Deligne-Beilinson cohomology, in «Beilinson's Conjectures on Special Values of L-functions», Perspectives in Math., Academic Press (1988).

26. T. Fimmel, A. N. Parshin, An introduction to the higher adelic theory, book in preparation.

27. Quandt, On a relative version of the Krichever correspondence, e-print alg-geom/9 606 015.D. Quillen, Higher algebraic K-theory 1, Lecture notes 341, Algebraic K-theory 1, p. 85−147.

28. M. Sato, Y. Sato, Soliton Equations as Dynamical Systems on Infinite Dimensional Grassmann Manifold, Lecture Notes in Num. Appl. Anal., 1982, vol. 5, p. 259−271.

29. A. Yekutieli, An explicit construction of the Grothendieck residue complex, Asterisque, 208 (1992).

30. Д. В. Осипов, Аделъные конструкции прямых образов дифференциалов и символов, Математический сборник, т. 188, номер 5, 1997, стр. 59−84.

31. Д. В. Осипов, Отображение Кричевера и (полу)стабильные пучки на кривых, Успехи Матем. Наук, т. 54, номер 3, 1999, стр. 177−178.

32. Д. В. Осипов, Соответствие Кричевера для алгебраических многообразий, рукопись депонирована в ВИНИТИ РАН 10.12.1999, N 3677 В99, 24с.

33. D. V. Osipov, Stability of torsion free sheaves on curves and infinite-dimensional grassmanian manifold, preprint IC/99/39 of the Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics (ICTP, Miramare-Trieste, Italy, April 1999), 13p.