Примеры задач линейного программирования

В линейном программировании в основном выделяют следующие виды задач:

• — Задача об использовании ресурсов.
• — Задача составления рациона (задача о смесях).
• — Задача об использовании мощностей.
• — Транспортная задача.

В моей работе более подробно рассматриваются первые два вида задач.

Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства) Для изготовления двух видов продукции P₁ и P₂ используют четыре вида ресурсов S₁ S₂ S₃ S₄. Запасы ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице.

Прибыль, получаемая от единицы продукции P₁ и P₂, — соответственно 2 и 3 руб.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим x₁, x₂ — число единиц продукции соответственно P₁ и P₂, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (1· x₁ +3x₂) единиц ресурса S₁, (2x₁ + 1 · x₂) единиц ресурса S₂, (1 · x₂) единиц ресурса S₃ и 3x единиц ресурса S₄. Так как потребление ресурсов S₁, S₂, S₃ и S₄ не должно превышать их запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

X₁ +3X₂? 18.

2X₁ +X₂? 16.

X₂? 5.

3X₁? 21.

По смыслу задачи переменные X1?0 и X2?0.

Суммарная прибыль F составит 2x₁ руб. от реализации продукции P₁ и 3x₂ руб. — от реализации продукции P₂, т. е.

F = 2x₁ + 3x₂ > max.

Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции X = (x₁, x₂), удовлетворяющий системе и условию, при котором функция принимает максимальное значение.