Среды с плоско-паралельными поверхностями раздела

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ.

При одной бесконечной плоской границе, разделяющей два однородных и изотропных полупространства со средами, имеющими 1 и 2, потенциал электрического поля в каждой среде можно определить методом зеркальных изображений, исходя из следующих положений.

Условия непрерывности электрического поля и граничные условия.

1.

• 2. При
• 3. На границе раздела потенциалы в разных средах равны (А).
• 4. должно соблюдаться постоянство нормальной составляющей

(В).

Будут выполнены, если предположить следующее:

• 1. В среде 1, в которой находится источник тока, потенциал электрического поля будет таким, как в случае однородного безграничного пространства, заполненного средой с сопротивлением, равным сопротивлению полупространства, в котором находится источник тока, при условии, что кроме этого источника тока, в точке А, являющейся зеркальным изображением точки, А в плоскости Р раздела сред, находится второй фиктивный источник тока А, отдающий некоторый ток I.
• 2. В среде 2, в которой источник тока, А отсутствует, потенциал электрического поля будет таким, как будто все исследуемое пространство безгранично и заполнено этой средой, но источник, А при этом отдает фиктивный электрический ток I.

Обозначая через R и R расстояние от источников, А и, А до точки М1 и М2 определим потенциал электрического поля.

для среды 1 (точка М1).

для среды 2 (точка М2).

(индекс вверху — среда, где находится питающий электрод,.

внизу — среда, где измеряется поле измерительным электродом).

Для определения фиктивных токов I и I воспользуемся пограничными условиями, А и Б приравняв обе части при R=R запишем:

и взяв производные (Б) получим:

и.

Так как, получим I-I=I R=R.

Решая совместно и получим:

.

k12 — наз. коэффициент отражения.

(1 — k12) — коэффициент пропускания.

В частности, если 2= k12= 1 и 1-k12= 0. В этом случае весь ток будет отражаться границей раздела (средой 2), в среде 2 токовое поле будет отсутствовать и в среде 1 плотность тока будет в 2 раза выше, чем в случае однородного изотропного пространства.

При идеально проводящей среде 2 (2=0) k12= -1 1-k12= 2. В этом случае токовые линии не только не будут отражаться границей раздела, а, наоборот, будут полностью втягиваться средой 2. При этом весь ток, вместо того, чтобы растекаться по телесному углу 4 будет протекать в среду 2 и распространяться в телесном угле, равном 2, что будет эквивалентным отдаче источником, А фиктивного тока удвоенной силы.

Подставляя найденные значения I и I, получим в среде1.

в среде 2.

(В.Н. Дахнов, промысловая геофизика, Госоптехиздат, М, 1959 г.).