Сравнения вида. 
Методы теории сравнений

Рассмотрим сравнение с одной переменной вида.

(3.3).

где,, коэффициенты при старшем члене и не делятся на m.

Определение 1. Решением сравнения (3.3) называется класс вычетов по modm, состоящий из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.

Теорема 1. Пустьи многочлены с целыми коэффициентами и целое число удовлетворяет сравнению (3.3). Тогда весь класс вычетов (modm)состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению.

Доказательство.

• 1) Так как число удовлетворяет сравнению (3.3), то оно удовлетворяет сравнению, где .
• 2) modm будет, следовательно,, поэтому число удовлетворяетсравнениюто есть сравнению. Следовательно, число удовлетворяет сравнению (3.3). Таким образом, класс вычетов состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению (3.3). Теорема1 доказана.

Определение 2. Два сравнения.

(3.4).

(3.5).

называются эквивалентными, если множество чисел, удовлетворяющих одному из них, совпадает с множеством чисел, удовлетворяющих другому сравнению.

Если и сравнения (3.4) и (3.5) имеют одни и те же решения, то получим два эквивалентных сравнения по .

Эквивалентные сравнения могут иметь разную степень.

Пример.

Решение первого сравнения, решением второго сравнения тоже будет класс вычетов. Следовательно, они эквивалентны. Но степени их различны (степень первого сравнения равна 1, степень второго — 3).