Исследование систем двух линейных уравнений

Характеристическое уравнение

Рассмотрим систему двух линейных уравнений:

где а, Ь, с, d — константы; х, у — декартовы координаты на фазовой плоскости.

Общее решение будем искать в виде:

Подставим эти выражения в (5.4) и сократим на e^kt

Такая алгебраическая система уравнений с неизвестными А, В имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:

Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы:

Решение уравнения (5.6) дает значения показателя Ххд, при которых возможны ненулевые для Ли В решения уравнения (5.5). Эти значения суть.

Если подкоренное выражение отрицательно, то Xx_t2 комплексно сопряженные числа. Предположим, что уравнение (5.6) не имеет кратных корней. Тогда общее решение системы (5.4) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями Хь Хг:

Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат, которое позволит привести систему к каноническому виду:

допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (5.4). Введем новые координаты ?, Г) по формулам:

Коэффициенты преобразований (5.7), (5.8), вообще говоря, комплексные.

Из курса линейной алгебры известно, что в случае Xi ф Хг исходную систему (5.4) с помощью формул (5.8) можно преобразовать к каноническому виду (5.7) и изучать ее поведение на фазовой плоскости т). Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.