Основные понятия теории оптимизации

Общая постановка задачи оптимизации

В общей задаче требуется найти вектор

из допустимой области, который обращает в минимум целевую функцию q (x), т. е. такой, для которого.

(1).

Если существует, то он определяет слабый, глобальный (абсолютный) минимум q* (x) в допустимой. Слабый, т.к. удовлетворяет нестрогому неравенству. Глобальный, т.к. неравенство справедливо для любых x из области X. Минимум при сильный, если для. Если поменять знаки неравенств — получим сильный и слабый максимумы. Минимум в точке называется локальным (относительным), если найдётся такая окрестность O (x*) точки, что для всех имеет место. Если дифференцируема, то задача отыскания локальных минимумов сводится к нахождению стационарных точек, в которых обращаются в ноль частные производные q (x):

(2).

(2) — необходимое, но не достаточное условие. Достаточным условием существования в стационарной точке относительного минимума является положительная определённость квадратичной формы.

Ограничения на допустимое множество

Теорема Вейерштрасса: непрерывная функция, определённая на непустом замкнутом ограниченном множестве, достигает минимума (максимума) по крайней мере в одной из точек этого множества.