Аксиома Архимеда и усиленная аксиома Кантора в упорядоченных полях

Упорядоченные поля, удовлетворяющие аксиоме Архимеда

Установим ряд свойств, эквивалентных аксиоме Архимеда.

5.5.1. Теорема. В упорядоченном поле выполняется аксиома Архимеда тогда и только тогда, когда всякий его элемент является пределом некоторой последовательности рациональных чисел.

Доказательство. (=>) Если упорядоченное поле удовлетворяет аксиоме Архимеда, то по 5.3.6 всякий его элемент а представим в виде некоторой десятичной дроби. Но тогда а является пределом последовательности приближенных значений: а = lirn А_п

/!-><*.

И Л_п Е О.

(<=) Пусть всякий элемент упорядоченного поля (Р, +,-,<) является пределом некоторой последовательности рациональных чисел и 0<�а еР. Тогда а = lim q_in где q_n е Q для любого п. Для 1.

п—>00.

существует номер к такой, что a-q_k<, откуда а =| а — q_k + q_k < | а — q_k | +1 q_k | < 1+1 q_k. По аксиоме Архимеда для рациональных чисел, существует натуральное число т такое, что 1+|q_k |а<�т. Итак, для произвольного я >0 существует натуральное число т такое, что а<�т. Следовательно, по 5.1.5 аксиома Архимеда выполняется. ?

5.5.2. Теорема. В упорядоченном поле <�Р,+,-,<) выполняется аксиома Архимеда тогда и только тогда, когда оно обладает свойством усиленной плотности: для любых a, b е Р, если а<�Ь, то

т т ,.

существует рациональное число — такое, что а< — <�Ь.

п п

Доказательство. (=>) Пусть упорядоченное поле (Р, +, •, <) удовлетворяет аксиоме Архимеда и о, ЬеР, а<�Ь. Тогда Ь-а> О и, по аксиоме Архимеда, существует натуральное число п такое, что n (b-a)> 1, откуда na + Снова, по аксиоме Архимеда, существует натуральное число т такое, что т>па. Пусть т — наименьшее натуральное число с этим свойством. Тогда т — <�па,

откуда m, Но тогда na и, а < — <�Ь.

п

(<=) Предположим теперь, что упорядоченное поле <�Р,+,-,<) обладает свойством усиленной плотности. Докажем, что для любого а > 0 существует натуральное число п такое, что п> а. Предположим противное, то есть существует элемент аеР, а >0, такой, что п <�а для любого натурального числа п. По свойству усиленной плотности,.

к к

существует рациональное число — такое, что а< — <2а. Таким.

т т

образом, для любого натурального числа п получаем: п < —, то есть.

т

пт < к, что противоречит аксиоме Архимеда для целых чисел. ?

Докажем, что все упорядоченные поля, удовлетворяющие аксиоме Архимеда, исчерпываются, по существу, подполями упорядоченного поля действительных чисел.

5.5.3. Теорема. Упорядоченное поле, в котором выполняется аксиома Архимеда, изоморфно некоторому подполю упорядоченного поля действительных чисел.

Доказательство. По 5.3.6, всякий элемент данного упорядоченного поля (Р, +, ?, <) однозначно представим в виде десятичной дроби. Докажем, что отображение (р, сопоставляющее всякому элементу а еР его представление в виде десятичной дроби, является взаимно однозначным. Пусть a, b е Р, <�р (а) = а, (р{Ь) = р и а = р. Тогда приближенные значения элементов а и b также равны, то есть для любого п имеем: А_п = В_п, А'_п=В'_п. Предположим, что офЬ. Пусть, например, а < b. По 5.5.2, данное упорядоченное поле обладает свойством усиленной плотности, значит, существуют рациональные числа и </<sub>2 такие, что а < </, 2-b. Но тогда для любого п получаем: A_nx 2В'_п = А'_п, откуда О < Яг ~Я < К ~ Л ^{= что} противоречит аксиоме Архимеда.

Остается принять, что а=Ь. Итак, (р — взаимно однозначное отображение Р в 5, а по 5.3.10 и 5.4.2 (р является изоморфизмом данного упорядоченного поля в упорядоченное поле десятичных дробей, которое, по 5.2.26, является упорядоченным полем действительных чисел. ?

• 5.5.4. Определение. Упорядоченное иоле назовем максимальным с данным свойством, если оно не изоморфно собственному подполю никакого упорядоченного поля, обладающего данным свойством.
• 5.5.5. Теорема. Система (Р, +,-,<) есть система действительных чисел тогда и только тогда, когда она является максимальным упорядоченным полем, удовлетворяющим аксиоме Архимеда.

Доказательство. (=>) Пусть дана система действительных чисел (/?,+,-,<). Предположим, что существует упорядоченное поле (К, +,-, удовлетворяющее аксиоме Архимеда, и (р — изоморфное отображение R в К, при котором

По 5.5.3, существует изоморфизм [р упорядоченного поля <К, +, •, <) на некоторое подполе упорядоченного поля действительных чисел (/?,+,-,<). Тогда цнр есть изоморфное отображение R в себя, и, по 5.4.5, оно является тождественным отображением, то есть для любого а е R имеем Ц/(р{а) = а. Отсюда (р{а) = {а) для любого aeR. Следовательно,

• (р = ц/~^] и (p® = К — пришли к противоречию. Остается принять, что упорядоченное поле действительных чисел является максимальным упорядоченным полем, удовлетворяющим аксиоме Архимеда.
• (<=) Предположим, что <Р, +, *, <) есть максимальное упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме Архимеда. По 5.5.3, существует изоморфизм данного упорядоченного поля в упорядоченное поле действительных чисел (R, +, •, <), который, но условию максимальности, является отображением на R. Следовательно, (Р, +, •, <) само является упорядоченным полем действительных чисел. ?