Введение. 
Несобственные интегралы и их приложения

В математическом анализе существует несколько видов интегралов. Это определенные, неопределенные, собственные, несобственные и другие.

Термин интеграл (от лат. целый) был предложен учеником и сподвижником Лейбница Иоганном Бернулли.

В этой курсовой работе рассмотрен один из видов интегралов имеющий большое значение в математическом анализе — несобственные интегралы.

Несобственные интегралы, обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования. Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном интервале. Поэтому, если интервал интегрирования или подынтегральная функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход: получающиеся при этом интегралы называются несобственными интегралами.

Если функция f (x) интегрируема на любом конечном отрезке [a, N] и если существует то его называют неопределенной функции f (x) на интервале [а, ?] и обозначают.

В этом случае говорят, что несобственый интеграл сходится. Когда этот предел, а значит и несобственный интеграл, не существует, то иногда говорят, что несобственный интеграл расходится. Например, сходится при г > 1 и расходится при г? 1. Аналогично определяют несобственный интеграл на интервалах [-?, b] и [-?, ?].

Если функция f (x), заданная на отрезке [a, b], не ограничена в окрестности точки a, но интегрируема на любом отрезке [а + е, b], 0 < е < b — a и если существует то его называют несобственный интеграл функции f (x) на [а, b] и записывают обычным образом.

Аналогично поступают, если f (x) не ограничена в окрестности точки b.

Если существует несобственный интеграл или то говорят, что несобственный интеграл или абсолютно сходится: если же последние интегралы сходятся (но первые расходятся), то несобственный интеграл или называются условно сходящимися.

Задачи, приводящие к несобственным интегралам, рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения Н. и. даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся интеграл установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Основными приемами вычисления несобственных интегралов являются дифференцирование и интегрирование по параметру, разложение в ряды, применение теории вычетов. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.

Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственного интеграла, зависящих от параметра, например:

.

К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при др. интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственных интегралов с неограниченной подынтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл:

в теории дифракции света — несобственный интеграл:

В ряде случаев расходящимся несобственный интеграл можно приписать определённое значение. В частности, если интеграл расходится, но существует:

то, А называется главным значением несобственного интеграла и обозначают .

Аналогично вводится главное значение несобственного интеграла от неограниченных функций. В работах Н. И. Мусхелишвили и его учеников построена теория интегральных уравнений, содержащих несобственных интегралов, понимаемые в смысле главного значения.

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a,b]) для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a,b]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.