Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Рассмотрим задачу из алгебры многочленов.

Задача 4.1.

Пусть, а является корнем многочлена х³ + 6х — 3. Нужно освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

——, т. е. представить дробь в виде многочлена от, а с рацио;

а² + 5.

нальными коэффициентами.

Решение. Знаменатель дроби есть значение от а многочлена fix) =х² + 5, а минимальным многочленом алгебраического элемента а является ф (х) =х³ + 6х- 3, поскольку этот многочлен неприводим над полем Q (по критерию Эйзенштейна при простом р = 3). Найдем НОДОс³ + 6х — 3, х² + 5) с помощью алгоритма Евклида:

Обобщим ситуацию и рассмотрим общую задачу.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Пусть, а — алгебраическая иррациональность над полем Р с ми;

. «а_ка^к +a_k_, a^k~^l -f-. + aia + Oo.

нимальным многочленом фОО и В = — -¹

Ъ_та^т + bro-ioc" ¹-¹ +… + bja + b₀

где коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе дроби принадлежат полю Р. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, т. е. представить (3 в виде.

где коэффициенты принадлежат полю Р.

Решение. Обозначим/)*) = b_nlx" < + b_m_₁x^nl₁ +… + b_}x + b₀ и у =/(а). Поскольку у ^ 0, то по свойству минимального многочлена НОД (/(х), ф (х)) = 1. Используя алгоритм Евклида, находим многочлены u (x) и v (x), такие что f (x) и (х) + ф (х)у (х) = 1. Отсюда Да) и (а) + ф (а)у (а) = 1, а так как ф (а) = 0, тоДа) и (а) = 1. Следовательно, умножая числитель и знаменатель данной дроби на ц (а), в знаменателе получим единицу, и задача решена.

Заметим, что общий прием освобождения от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби в случае комплексных а + Ы

чисел-приводит к известной процедуре умножения числи;

c + di

теля и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Исторический экскурс

Впервые существование чисел, трансцендентных над полем Q, обнаружил Ж. Лиувилль (1809—1882) в работах 1844 и 1851 гг. Одним из трансцендентных чисел Лиувилля является число.

. Ш. Эрмит (1822;

а= У——. Вдесятичнойзаписиа = 0Д100 010.

кл 10*.

1901) доказал трансцендентность числа е в 1873 г., а К. Ф. Линдеман (1852—1939) доказал в 1882 г. трансцендентность числа п. Эти результаты были получены очень не просто. В то же время совсем просто Г. Кантор (1845—1918) доказал, что трансцендентных чисел «значительно больше», чем алгебраических: трансцендентных чисел «столько же», сколько всех действительных чисел, в то время как алгебраических чисел «столько же», сколько всех натуральных чисел. Точнее, множество алгебраических чисел счетно, а множество трансцендентных чисел несчетно. Доказательство этого факта, устанавливая существование трансцендентных чисел, не дает рецепта получения ни одного из них. Такого рода теоремы существования чрезвычайно важны в математике уже тем, что вселяют веру в успех поиска объекта, существование которого доказано. Вместе с тем существует направление в математике, представители которого не признают чистых теорем существования, называя их неконструктивными. Наиболее яркими из этих представителей являются Л. Кронекер и Я. Брауэр.

В 1900 г. на Всемирном конгрессе математиков в Париже немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943) сформулировал следующую проблему 22: Какова природа числа аР, где, а и (3 — алгебраические числа, а ^ 0, а ^ 1 и степень алгебраического числа (3 не меньше 2? А. О. Гельфонд (1906—1968) доказал, что такие числа трансцендентны. Отсюда следует, в частности, что числа 2^, З^г являются трансцендентными.