Существование решения дифференциального уравнения первого порядка

Задача поиска решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, получила в литературе название задачи Коши.

Теорема Пикара: Пусть задано уравнение.

и начальные значения. (2).

А) функция определена и непрерывна по обеим переменным и в некоторой области.

;

Б) функция удовлетворяет в области по переменной условию Липшица, т. е.

.

то существует единственное решение указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале, где — положительное число. Здесь — постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от и. Если имеет ограниченную в производную, то можно принять .

Уравнение (1) вместе с начальными условиями (2) эквивалентно интегральному уравнению.

(3).

В силу непрерывности функции имеем в некоторой области, содержащей точку. Подберем теперь так, чтобы выполнялись условия:

1), если, ;

2) .

Обозначим через пространство непрерывных функций, определенных на сегменте и таких, что, с метрикой.

Пространство полно, так как оно является замкнутым подпространством полного пространства всех непрерывных функций на. Рассмотрим отображение, определяемое формулой.

где. Это отображение переводит полное пространство в себя и является в нем сжатым. Действительно, пусть, .

и, следовательно,. Кроме того,.

Так как, то отображение сжатое.

Отсюда вытекает, что уравнение (т. е. уравнение (3)) имеет одно и только одно решение в пространстве .

При дальнейшем изложении будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что для рассматриваемых дифференциальных уравнений выполнены обычные условия существования и единственности решений.