Подынтегральная функция имеет особенность

В параграфе 6.3 мы рассматривали интегралы вида (6.13). Весовые функции и интервалы (4), (5), (7) и (8) представленные в (6.17), являются часто встречающимися на практике особенностями. Поэтому квадратурные формулы.

(6.14) с соответствующими узлами и весами могут быть использованы для численного интегрирования функций с этими особенностями.

Пример 6.5 (применение формулы Гаусса —Кристоффеля к вычислению интеграла от функции с особенностью) Рассмотрим следующий интеграл:

с особенностью пх в точке х = 0. Будем использовать формулу (6.14) с двумя узлами и весами (М = 2) и для данного интеграла она имеет вид.

где w_m и z_m равны (см. табл. Л9 в Приложении Л):

Вычисление дает следующий результат: 1₂ ~ -0.821 826 с абсолютной ошибкой е₂ = |/ - /2I ~ 6.4 • 10~⁴. Этот пример демонстрирует, что формулы Гаусса — Кристоффеля позволяют довольно точно вычислять интегралы от функций с особенностями, даже если используется всего несколько узлов.

Другой способ интегрирования функций с особенностями требует некоторых предварительных преобразований исходного интеграла. Если мы можем выделить особенность и затем вычислить интеграл от нее точно или приближенно, тогда проблема сводится к вычислению обыкновенного интеграла. В качестве примера рассмотрим.

Так как теперь функция f (x) = (ехр (-х) — 1) х^-½ в точке х = 0 равна нулю и непрерывна на интервале [0, 1], то для вычисления последнего интеграла можно использовать стандартные формулы интегрирования.