Частные производные высших порядков

Пусть функция определена в некоторой области. Если функция имеет частные производные и, то они в общем случае тоже будут функциями двух переменных и, определенных в области или ее части. Будем называть в дальнейшем функции и частными производными первого порядка (или просто первыми частными производными) функции. Частные производные по и по от функций и, если они существуют, называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) функции. Обозначают частные производные второго порядка функции следующим образом:

1) производная по от функции обозначается одним из следующих символов.

, , ;

2) производная по от функции обозначается.

, , ;

3) производная по от обозначается.

, , ;

4) производная по от обозначается.

, , .

Частные производные второго порядка в общем случае снова будут функциями двух переменных. Если их можно дифференцировать по и по, то получим частные производные третьего порядка (третьи частные производные) функции и т. д.

Вообще, частные производные от частных производных ()-го порядка некоторой функции называются частными производнымиго порядка этой функции.

Символика для обозначения частных производныхго порядка () аналогична символике для частных производных второго порядка. Например:

, .

Найти частные производные второго порядка функции.

Имеем, .

Дифференцируя функции и по и по, получаем.

,.

.

Частные производные второго и высших порядков, взятые по разным аргументам, называются смешанными.

В рассмотренном выше примере оказалось, что. Это свойство имеет место для широкого класса функций, что подтверждает следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Если функция в некоторой области имеет все частные производные дого порядка включительно и эти производные непрерывны, то смешанные производные порядка (), отличающиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой.

Например, будет иметь место равенство.

(при условии, что указанные производные непрерывны).

Условие непрерывности частных производных является существенным. Можно привести примеры, которые показывают, что если оно не выполняется, то результат дифференцирования существенно зависит от порядка дифференцирований. дифференцирование производный теорема Определения и обозначения частных производных высших порядков для функции трех и более числа переменных даются аналогичным образом. Остается в силе и теорема о независимости смешанных производных от последовательности дифференцирований при условии их непрерывности.